小学四年级奥数专题讲座29:抽屉原理（一）

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第29讲 抽屉原理（一） 　　将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉。现在将这11个点放到这10个抽屉中去。根据抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）。由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米。 　　所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米。 例5有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶数？ 分析与解：由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计。 　　对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形： 　　（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶）， 　　其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性。 　　将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形。由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数。 例6用红、蓝两种颜色将一个2×5方格图中的小方格随意涂色（见右图），每个小方格涂一种颜色。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 分析与解：用红、蓝两种颜色给每列中两个小方格随意涂色，只有下面四种情形： 　　将上面的四种情形看成四个“抽屉”。根据抽屉原理，将五列放入四个抽屉，至少有一个抽屉中有不少于两列，这两列的小方格中涂的颜色完全相同。 　　在上面的几个例子中，例1用一年的366天作为366个抽屉；例2与例3用整数被3除的余数的三种情形0，1，2作为3个抽屉；例4将一条线段的10等份作为10个抽屉；例5把每堆水果中，苹果数与桔子数的奇偶搭配情形作为4个抽屉；例6将每列中两个小方格涂色的4种情形作为4个抽屉。由此可见，利用抽屉原理解题的关键，在于恰当地构造抽屉。    练习29 　　1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到两个生日是在同一天的小朋友？ 　　2.班上有50名小朋友，老师至少拿几本书，随意分给小朋友，才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 　　3.在任意三个自然数中，是否其中必有两个数，它们的和为偶数？ 　　4.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两人选的玩具是相同的？ 　　5.学校举行开学典礼，要沿操场的400米跑道插40面彩旗。能否找到一种插法，使得任何两面彩旗之间的距离都大于10米？ 　　6.用红、蓝、黄三种颜色将一个2×7方格图中的小方格涂色（见下图），每个小方格涂一种颜色，每一列的两小格涂的颜色不相同。是否存在两列，它们的小方格中涂的颜色完全相同？ 　　7.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？ 　　如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放，至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。 　　同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个鸽笼至少飞进了2只鸽子。 　　以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原理”，也叫“鸽笼原理”。

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