教师介绍:在牛顿所处时代,行星的运动情况观测资料已经相当丰富,因此得出行星受到的引力的表达式是可能的,但是运动轨迹椭圆难倒了胡克、哈雷等,也使牛顿困惑了许多年,直到他用自己发明的微积分解决了问题(历史上是否如此呢?缺乏考证)。我们不会微积分,因此我们研究不了椭圆,但是多数行星的轨道十分接近圆,因此我们现在就通过圆轨道用刚才的思路导出太阳对行星引力的表达式,验证我们的猜测,同时再现牛顿当时的思维过程。
教师提问:行星轨道按圆处理,开普勒定律怎样表述?
(投影出答案)
提问:若已知某行星匀速圆周运动轨道半径为r,线速度为v,质量为m行,则它需要的向心力多大?
F需向=m行
引导:天文观测能直接得到行星的线速度吗?能直接观测出什么?怎样变化刚才的公式?
将 代入得F需向=
引导:这是行星需要的向心力,我们要求的是太阳对行星的引力,这两个力有关系吗?
F太阳对行星=F需向=
引导:从上一章我们就知道,需要的向心力和提供的力是不一定相等的,否则也就不会有离心运动、向心运动了,因此太阳对行星的引力大小应该与行星的周期是无关的,仅与两个星球本身情况有关,即以上得到的仅是太阳对行星的引力计算式,而不是决定式(正象密度的计算式 一样),(或举例:光滑水平面上用轻弹簧拴住一个质量为m的小球做匀速圆周运动,轨道半径为r,周期为T,则 ,这只是用周期T来计算拉力F,因为恰好需要的向心力等于拉力,但实际上拉力F仅由劲度系数k和伸长量x有关,跟作圆周运动的物体的运动学量无关。)为找到引力的决定式,我们必须将周期T去掉?怎么办呢?
引导:由开普勒第三定律得 ,代入得F太阳对行星=
再共同分析出公式中除了m行、r2以外,其余都是常量,对任何行星都相同,这才是只跟距离以及天体本身有关的表达式,即太阳对行星引力的决定式。
不错哦 总结上式的物理意义,并给出简化式:F太阳对行星
(可将以上关键步骤列出投影出示)
● 关于探究行星对太阳引力大小环节的建议:
教师提出问题:刚才我们猜测到太阳对行星的引力应该与双方的质量均有关,直觉告诉我们这个猜测是正确的,可是我们得出的结论好像只与行星质量有关,难道我们猜测错了吗?你认为如何?
引导学生观察等式F太阳对行星= 讨论出结论:公式中的常数k是开普勒第三定律中的常数,此常数是一个与行星无关而与太阳有关的量(一般在讲第一节内容时都要补充说明这个结论),与太阳的什么有关,最可能就是质量,因此说太阳对行星的引力与双方的质量均有关。
教师提问:那么与太阳质量到底有什么关系呢?怎样研究这一问题呢?
引导学生讨论得出研究思路:如果还是研究太阳对行星的引力,只能到上式为止,不可能再有什么突破,何不研究行星对太阳的引力呢?因为太阳对行星的引力和行星对太阳的引力是一对作用力与反作用力,二者同性质且等大。
(以上这两个问题的设计目的就是为了由讨论太阳对行星的引力向讨论行星对太阳引力进行过渡,让学生理解这种研究方向的转变是一种思维的必然,同时也让学生体会到牛顿能够转变这种研究方向,其思维技巧多么高超。)
教师提问:行星对太阳的引力跟太阳的质量有什么关系呢?
引导学生讨论。我认为得出结论的方法有两种:一种是课本上利用施力物与受力物互换的办法得出F行星对太阳 。另一种应该利用运动相对性的办法,行星围绕太阳做匀速圆周运动,若以行星为参考系,太阳也在绕行星做匀速圆周运动,即若行星绕太阳转了一周,以行星为参考系,太阳也绕行星转了一周。可以采用以下办法帮助学生理解。
图-1到图-5表示蓝色的行星绕红色的太阳旋转半周的几个关键位置,若将图-2到图-5依次重叠在图-1上,重叠时让蓝色的行星位置重合,我们发现红色太阳绕蓝色行星也转了半周。(可以用光学投影片重叠的方法或flash课件)
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