不等式的证明(一)
:用比较法证明不等式.(板书课题)
设计意图:通过教师设置问题,引导学生回忆所学的知识,引出用比较法证明不等式,导入本节课学习的知识.
(二)新课讲授
【尝试探索,建立新知】
(教师活动)教师板书问题(证明不等式),写出一道例题的题目
[问题] 求证
教师引导学生分析、思考,研究不等式的证明.
(学生活动)学生研究证明不等式,尝试完成问题.
(得出证明过程后)
[点评]
①通过确定差的符号,证明不等式的成立.这一方法,在前面比较两个实数的大小、比较式子的大小、证明不等式性质就已经用过.
②通过求差将不等问题转化为恒等问题,将两个一般式子大小比较转化为一个一般式子与0的大小比较,使问题简化.
③理论依据是:
④由 , ,知:要证明 只要证 ;要证明 这种证明不等式的方法通常叫做比较法.
设计意图:帮助学生构建用比较法证明不等式的知识体系,培养学生化归的数学思想.
【例题示范,学会应用】
(教师活动)教师板书例题,引导学生研究问题,构思证题方法,学会解题过程中的一些常用技巧,并点评.
例1 求证
(学生活动)学生在教师引导下,研究问题.与教师一道完成问题的论证.
[分析]由比较法证题的方法,先将不等式两边作差,得 ,将此式看作关于 的二次函数,由配方法易知函数的最小值大干零,从而使问题获证.
证明:∵
=
= ,
∴ .
[点评]
①作差后是通过配方法对差式进行恒等变形,确定差的符号.
②作差后,式于符号不易确定,配方后变形为一个完全平方式子与一个常数和的形式,使差式的符号易于确定.
③不等式两边的差的符号是正是负,一般需要利用不等式的性质经过变形后,才能判断.
变形的目的全在于判断差的符号,而不必考虑差的值是多少.至于怎样变形,要灵活处理,例1介绍了变形的一种常用方法——配方法.
例2 已知都是正数,并且 ,求证:
[分析]这是分式不等式的证明题,依比较法证题将其作差,确定差的符号,应通分,由分子、分母的值的符号推出差值的符合,从而得证.
证明:
=
= .
因为 都是正数,且 ,所以
.
∴ .
即:
[点评]
①作差后是通过通分法对差式进行恒等变形,由分子、分母的值的符号推出差的符号.
②本例题介绍了对差变形,确定差值的符号的一种常用方法——通分法.
③例2的结论反映了分式的一个性质(若都是正数.
1.当 时,
2.当 时, .以后要记住.
设计意图:巩固用比较法证明不等式的知识,学会在用比较法证明不等式中,对差式变形的常用方法——配方法、通分法.
【课堂练习】
(教师活动)打出字幕(练习),要求学生独立思考.完成练习;请甲、乙两学生板演;巡视学生的解题情况,对正确的证法给予肯定和鼓励,对偏差点拨和纠正;点评练习中存在的问题.