复数的加法与减法

1．复数减法法则

　　（1）规定：复数减法是加法逆运算；

　　（2）法则：（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i（ ， ， ， ∈R）．

　　把（ + i）-（ + i）看成（ + i）+（-1）（ + i）如何推导这个法则．

（ + i）-（ + i）=（ + i）+（-1）（ + i）=（ + i）+（- - i）=（ - ）+（ - ）i．

　　推导的想法和依据把减法运算转化为加法运算．

　　推导：设（ + i）-（ + i）= + i（ ， ∈R）．即复数 + i为复数 + i减去复数 + i的差．由规定，得（ + i）+（ + i）= + i，依据加法法则，得（ + ）+（ + ）i= + i，依据复数相等定义，得

　　故（ + i）-（ + i）=（ - ）+（ - ）i．这样推导每一步都有合理依据．

　　我们得到了复数减法法则，两个复数的差仍是复数．是唯一确定的复数．

　　复数的加（减）法与多项式加（减）法是类似的．就是把复数的实部与实部，虚部与虚部分别相加（减），即（ + i）±（ + i）=（ ± ）+（ ± ）i．

（三）复数减法几何意义

　　我们有了做复数减法的依据——复数减法法则，那么复数减法的几何意义是什么？
　　设z= + i（ ， ∈R），z₁= + i（ ， ∈R），对应向量分别为 ， 如图

　　由于复数减法是加法的逆运算，设z=（ - ）+（ - ）i，所以z-z₁=z₂，z₂+z₁=z，由复数加法几何意义，以 为一条对角线， ₁为一条边画平行四边形，那么这个平行四边形的另一边 ₂所表示的向量OZ₂就与复数z-z₁的差（ - ）+（ - ）i对应，如图．

　　在这个平行四边形中与z-z₁差对应的向量是只有向量 ₂吗？ 

　　还有 ． 因为OZ₂ Z₁Z，所以向量 ，也与z-z₁差对应．向量 是以Z₁为起点，Z为终点的向量．

　　能概括一下复数减法几何意义是：两个复数的差z-z₁与连接这两个向量终点并指向被减数的向量对应．

（四）应用举例

　　在直角坐标系中标Z₁（-2，5），连接OZ₁，向量 ₁与多数z₁对应，标点Z₂（3，2），Z₂关于x轴对称点Z₂（3，-2），向量 ₂与复数对应，连接，向量与的差对应（如图）．

　　例2　根据复数的几何意义及向量表示，求复平面内两点间的距离公式．

　　解：设复平面内的任意两点Z

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