解： ，由 ，知 ， ，且 ．当且仅当 ，即 时， （ ）有最小值，最小值是 。
[点评] 要正确理解 的意义，即方程 要有解，且解在定义域内．
[字幕] 例2 某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为 4800 ，深为 3 m，如果池底每l 的造价为 150元，池壁每1 的造价为 120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低总造价是多少元？
［分析］ 设水池底面一边的长为 m，水池的总造价为y，建立y关干 的函数．然后用定理求函数y的最小值．
解：设水池底面一边的长度为 m，则另一边的长度为 m，又设水池总造价为y元，根据题意，得
（ ）
所以
当 ，即 时，y有最小值297600．因此，当水池的底面是边长为40 m的正方形时．水池的总造价最低，最低总造价是297600元．
设计意图：加深理解应用平均值定理求最值的方法，学会应用平均值定理解决某些函数最值问题和实际问题，并掌握分析变量的构建思想．培养学生用数学知识解决实际问题的能力，化归的数学思想．
【课堂练习】
（教师活动）打出字幕（练习），要求学生独立思考，完成练习；请三位同学板演；巡视学生解题情况，对正确的给予肯定，对偏差进行纠正；讲评练习．
（学生活动）在笔记本且完成练习、板演．
［字幕〕练习
A组
1．求函数 （ ）的最大值．
2求函数 （ ）的最值．
3．求函数 （ ）的最大值．
B组
1．设 ，且 ，求 的最大值．
2．求函数 的最值，下面解法是否正确？为什么？
解： ，因为 ，则 ．所以
[讲评] A组 1． ； 2． ； 3．
B组 1． ； 2．不正确 ①当 时， ；②当 时， ，而函数在整个定义域内没有最值．
设计意图；A组题训练学生掌握应用平均值定理求最值．B组题训练学生掌握平均值定理的综合应用，并对一些易出现错误的地方引起注意．同时反馈课堂教学效果，调节课堂教学．
【分析归纳、小结解法】
（教师活动）分析归纳例题和练习的解题过程，小结应用平均值定理解决有关函数最值问题和实际问题的解题方法．
（学生活动）与教师一道分析归纳，小结解题方法，并记录笔记．
1．应用平均值定理可以解决积为定值或和为定值条件下，两个正变量的和或积的最值问题．
2．应用定理时注意以下几个条件：（ⅰ）两个变量必须是正变量．（ⅱ）当它们的和为定值时，其积取得最大值；当它们的积是定值时，其和取得最小值．（iii）当且仅当两个数相等时取最值，即必须同时满足“正数”、“定值”、“相等”三个条件，才能求得最值．
3．在求某些函数的最值时，会恰当的恒等变形——分析变量、配置系数．
4．应用平均值定理解决实际问题时，应注意：（l）先理解题意，没变量，把要求最值的变量定为函数．（2）建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题，确定函数的定义域．（3）在定义域内，求出函数的最值，正确写出答案．
设计意图：培养学生分析归纳问题的能力，帮助学生形成知识体系，全面深刻地掌握平均值定理求最值和解决实际问题的方法．