数学 历史的启示

　　首先，我要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会及香港教育署让我有机会在“数学普及讲座及交流系列”上作讲演。尤其要感谢国际数学奥林匹克（香港）委员会主席岑嘉评教授及谭炳均博士。我也要感谢今天来出席会议的各位香港的中学老师和同学。再过三天就要过春节了，大家都很忙，有很多事情要做，可是还抽空来听我的讲演，使我很感动。
　　这次讲演，打算讲以下几点：
　　一、百年前的讲演
　　二、百年前的讲演的启示
　　三、算术与代数
　　四、几何与三角
　　五、微积分
　　六、几点启示
　　七、结束语
　　一、百年前的讲演
　　今天是2001年1月20日，二十一世纪刚刚开始了20天。在100年前，即1904年8月5日，德国数学家DavidHilbert（1862—1943）在巴黎国际数学家大会上作了题为《数学问题》的著名讲演。这是载入数学史册的重要讲演。他在讲演的前言和结束语中，对数学的意义、源泉、发展过程及研究方法等，发表了许多精辟的见解。而整个讲演的主体，则是他根据十九世纪数学研究的成果和发展趋势而提出的23个数学问题，这些问题涉及现代数学的许多重要领域。一百年来，这些问题一直激发着数学家们浓厚的研究兴趣，100年过去了，这些问题近一半已经解决或基本解决，但还有些问题虽取得了重大进展，但未最后解决，如：Riemann猜想，Goldbach猜想等。
　　100年过去了，对Hilbert在1900年提出的23个问题，现在回过头来看，有不少评论。但是很多人认为：这些问题，对推动二十世纪数学的发展起了很大的作用，当然也有评论说其不足之处，例如：这23个问题中未能包括拓扑学、微分几何等在二十世纪成为前沿学科的领域中的数学问题；除数学物理外很少涉及应用数学待等。当然更不会想到二十世纪电脑的大发展及其对数学的重大影响。二十世纪数学的发展实际上是远远超出了Hilbert问题所预示的范围。
　　D。Hilbert是十九世纪和二十世纪数学交界线上高耸着的三位伟大数学家之一，另外二位是HenriPoincare（1854—1912）及FelixKlein（1849—1925），他们的数学思想及对数学的贡献，既反射出十九世纪数学的光辉，（此括号内不是文章内容，来自学习方法网，阅读请跳过），也照耀着二十世纪数学前进的道路。
　　D。Hilbert是在上一个世纪，新、旧世纪交替之际作的讲演，现在又一个新的世纪开始了，再来看看他的讲演，其中一些话，现在仍然适用，例如在讲演一开始，他说“我们当中有谁不想揭开未来的帷幕，看一看在今后的世纪里我们这门科学发展的前景和奥秘呢？我们下一代的主要数学思潮将追求什么样的特殊目标？在广阔而丰富的数学思想领域，新世纪将会带来什么样的新方法和新成果？”他还接着说：“历史教导我们，科学的发展具有连续性。我们知道，每个时代都有它自己的问题，这些问题后来或者得以解决，或者因为无所裨益而被抛到一边并代之以新的问题。因为一个伟大时代的结束，不仅促使我们追潮过去，而且把我们的思想引向那未知的将来。”
　　二十世纪无疑是一个数学的伟大时代，二十一世纪的数学将会更加辉煌。“每个时代都有它自己的问题”，二十世纪来临时，Hilbert提出了他认为是那个世纪的23个问题。这些问题对二十世纪数学的发展起了很大的推动作用，但二十世纪数学的成就却远远超出他所提出的问题。那么二十一世纪的问题又是什么呢？Hilbert1900年在巴黎国际数学家大会上提出这些问题时，才38岁，但已经是当时举世公认的德高望重的领袖数学家之一。大家知道，2002年国际数学家大会将在中国北京召开，这是国际数学家大会第一次在第三世界召开，那么在这新旧世纪交替之际，会不会有像Hilbert这样崇高威望的人在会上提出他认为的二十一世纪的数学问题或是以其他的形式展望二十一世纪的数学？这个我当然不知道，但这些年来，已有不少数学家提出他自己认为的二十一世纪的数学问题，但往往是“仁者见仁，智者见智”。
　　二、百年前的讲演的启示
　　对Hilbert的23个问题不在这里介绍了，因为它超越了中学数学的范围。但百年前，Hilbert演讲中对数学的一些见解都是非常的深刻，百年过去了，重读他的演讲，依然得到很多启示，我也不可能在这短短的一个多小时内，对他的演讲的各个部分来阐述自己的体会，我只想讲一点对他说的其中的一段话自己的粗浅认识。

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