题型4:排列、组合的综合问题
例7.平面上给定10个点,任意三点不共线,由这10个点确定的直线中,无三条直线交于同一点(除原10点外),无两条直线互相平行。求:(1)这些直线所交成的点的个数(除原10点外)。(2)这些直线交成多少个三角形。
解法一:(1)由题设这10点所确定的直线是C102=45条。
这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点,由任意两条直线交一个点,共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以,在原来点上有10C92点被重复计数;
所以这些直线交成新的点是:C452-10C92=630。
(2)这些直线所交成的三角形个数可如下求:因为每个三角形对应着三个顶点,这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合,即C6403=43486080(个)。
解法二:(1)如图对给定的10点中任取4个点,四点连成6条直线,这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍,即这些直线新交成的点的个数是:3C104=630。
(2)同解法一。
点评:用排列、组合解决有关几何计算问题,除了应用排列、组合的各种方法与对策之外,还要考虑实际几何意义。
例8.已知直线ax+by+c=0中的a,b,c是取自集合{-3,-2,-1,0,1,2,3}中的3个不同的元素,并且该直线的倾斜角为锐角,求符合这些条件的直线的条数。
解 设倾斜角为θ,由θ为锐角,得tanθ=- >0,即a、b异号。
(1)若c=0,a、b各有3种取法,排除2个重复(3x-3y=0,2x-2y=0,x-y=0),故有3×3-2=7(条);
(2)若c≠0,a有3种取法,b有3种取法,而同时c还有4种取法,且其中任两条直线均不相同,故这样的直线有3×3×4=36条,从而符合要求的直线共有7+36=43条;
点评:本题是1999年全国高中数学联赛中的一填空题,据抽样分析正确率只有0.37。错误原因没有对c=0与c≠0正确分类;没有考虑c=0中出现重复的直线。
题型5:二项式定理
例9.(1)(湖北卷)在 的展开式中, 的幂的指数是整数的项共有
A.3项 B.4项 C.5项 D.6项
(2) 的展开式中含x的正整数指数幂的项数是
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6
解析:本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识;
(1) ,当r=0,3,6,9,12,15,18,21,24时,x的指数分别是24,20,16,12,8,4,0,-4,-8,其中16,8,4,0,-8均为2的整数次幂,故选C;
(2) 的展开式通项为 ,因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B;
点评:多项式乘法的进位规则。在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令 .在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别。
例10.(1)(06江西卷)在(x- )2006 的二项展开式中,含x的奇次幂的项之和为S,当x= 时,S等于( )
A.23008 B.-23008 C.23009 D.-23009
(2)(06山东卷)已知 的展开式中第三项与第五项的系数之比为- ,其中 =-1,则展开式中常数项是( )
(A)-45i (B) 45i (C) -45 (D)45
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