函数教案

 1、函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件。
    判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式: , 。
    2、若函数 既是奇函数又是偶函数,则 恒等于零,这样的函数有无数个。
    3、如果点 是原函数图象上的点,那么点 就是其反函数图象上的点。
    4、反函数的相关性质:
    (1)互为反函数的两个函数具有相同的的单调性,单调区间不一定相同;
    (2)定义域上的单调函数必有反函数;(函数单调只能作为存在反函数的充分条件)
    只有从定义域到值域上一一映射所确定的函数才有反函数。(存在反函数的充要条件)
    (3)奇函数的反函数也是奇函数。偶函数不存在反函数(定义域为单元素集的偶函数除外);
    (4)周期函数不存在反函数;
    (5)若 是连续单调递增函数,则" 与 的图象有公共点" " 的图象与直线 有公共点"  "方程  有解";
    (6)若 为增函数,则 与 的图象的交点必在直线 上;
    (7)函数 的图象与函数 的图象关于直线 对称;
    (8)函数 与 的图象关于直线 对称。
    5、两个函数相同,当且仅当它们的定义域和对应法则分别相同。
    6、 对 恒成立 或   其中 。
    7、二次函数的三种表现形式:
    (1)一般式 ;
    (2)顶点式: 其中 为抛物线顶点坐标;
    (3)零点式: 其中 、 为抛物线与 轴两个交点的横坐标。
    8、不等式中的恒成立问题与不等式的有解问题对比:
    (1) 在 的定义域上恒成立 ;
    (2) 在 的定义域上恒成立 ;
    (3) 在 的定义域上有解 ;
    (4) 在 的定义域上有解 。
    某些恒成立问题有时通过分离变量(在等式或不等式中出现两个变量,其中一个变量的范围已知,另一个为所求,这时可通过恒等变形将两个变量分置于等号或不等号两边)将恒成立问题转化为函数在给定区间上的最值问题,从而求解。
    9、对于函数中的恒成立问题补充两点说明:
    (1)若 恒成立,则M不一定为 的最大值。若 恒成立,则m不一定为  的最小值;
    (2)若 恒成立,则 为的最大值,若 恒成立,则 为的最小值。
    10、函数 的最小值为 。
    11、重要工具函数 的性质:不妨设
    (1) 时,函数在区间 上单调递增;
    (2) 时,函数在区间 上单调递减,在区间 上单调递增。
    12、关于函数对称性,奇偶性与周期性的关系:
    类型之一:线线型 周期性
    (1)若函数 在 上的图象关于直线 与 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是它的一个周期。
    (2)若函数 为偶函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数,  是它的一个周期。
    类型之二:点线型 周期性
    (1)若函数 在 上的图象关于点 和直线 都对称,则函数 是 上的周期函数, 是函数 在 上的一个周期。
    (2)若函数 为偶函数,且图象关于点 成中心对称,则函数   为周期函数, 是它的一个周期。
    (3)若函数 为奇函数,且图象关于直线 对称,则 为周期函数,  是它的一个周期。
    类型之三:点点型 周期性
    (1)若函数 在 上的图象关于相异两点 、 都对称,则函数  是 上的周期函数, 是它的一个周期。
    (2)若函数 为奇函数,且图象关于点 成中心对称,则函数   为周期函数, 是它的一个周期。

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