19、函数 按向量 平移后的函数表达式为: ;
20、判断 符号可以1为分界点,当 在1的同侧( 或 )时, ;当 在1的两侧时, 。可以概括为:"同向为正,异向为负"
21、关于函数 的定义域为 或值域为 的问题:
(1)若其定义域为 ,则须 在 上恒成立,问题等价为:
或 其中 ;(2)若其值域为 ,则须 的函数值能取遍全体正数,问题等价为:
或 其中 。
22、当且仅当 时,函数 与函数 的图象相切于直线 上的点 。
23、一次分式函数 的相关性质:
(1)定义域: ;
(2)值域: ;
(3)图像:双曲线线;
(4)渐近线: ;
(5)对称中心: ;
(6)单调性:①当 , 单调递减, 单调递减;
②当 , 单调递增, 单调递增;
特别地:当 ,即 时,函数 和其反函数 为同一函数。也即函数 的图像关于直线 对称。
24、用函数方程法求函数解析式应注意的问题
一般地,形如: ,其中 已知,要求 的解析式,通常的做法为:用 去替代原式中所有的 ,得到 ,若此式中的 ,则可以得到: ,再将此式与原式联立,消掉 ,就可以求出 ,故能用此法求解的关键在于: ,此式说明 必满足,原函数与反函数为同一函数。例如: , , 等。
25、抽象函数中的相关问题
(1)奇偶性的判断
①若 ( ),则 为奇函数;
②若 ( ),则 为奇函数;
③若 ( ),则 为偶函数;
④若 ( ),则 为奇函数;
⑤若 ,则 为偶函数。
(2)单调性的判断
① ;(作差比较函数值)
② 。(作差比较函数值)
26、求函数值域的类型与方法归类
(1)直接法,直接观察,根据式子的结构特征得出值域。
(2)配方法,适用于二次型函数: 。
(3)反函数法,分离x或关于x的表达式,求y的范围,形如: 等形式。
(4)判别式法,适用于二次分式函数: 。
(5)均值不等式法,适用于: ,注意一正二定三相等。
(6)换元法,适用于: ,可令 则 ,转化为二次型。
三角换元法,含 结构的函数中可 。
(7)单调法,利用导数求得函数的单调区间和极值,得到值域。
(8)数形结合法,转化成相应的几何意义,如:距离,斜率,角度等。
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