13、由函数方程推导函数周期的常见类型:
(1)若函数 满足 ,则 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(2)若函数 满足 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(3)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(4)若对于任意一个实数 ,都有 ,则 是 上的周期函数,且 是它的一个周期。
(5)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。
(6)定义在 上的函数 ,若存在非零正实数 ,对于一切 ,都有 ,则 是以 为周期的函数。(过度关系: )
(7)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。(过度关系:
(8)定义在 上的函数 对于 都有 ,则 是以6为周期的函数。
(过度关系: )
(9)若 是函数 的任意一个周期,则 的相反数 也是 的周期; 也是 的周期;若 都是 的周期,且 ,则 也是 的周期。
说明:对于(1)~(5),其代换函数,有如下特点:原函数与反函数相同,代换两次能够还原。如: 都是原函数与反函数相同的函数,即 。可见本章-24。
14、函数图象的自身对称问题:
(1)偶函数的图象关于y轴对称;(轴对称)
(2)奇函数的图象关于原点对称;(中心对称)
(3)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于直线 对称;( ,即:"取平均值",与m的值无关)
(4)定义在 上的函数 ,若满足 ,则函数 的图象关于点 中心对称;
(5)定义在 上的函数 ,若满足 (或 ),则函数 的图象关于点 中心对称。
15、两函数图象间的对称问题:
不错哦 (1)定义在 上的函数 与函数 的图象关于直线 对称;(其对称轴方程 由 解得,与m的值有关)
(2)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(3)定义在 上的函数 与函数 的图象关于点 中心对称;
(4)特别地:①函数 关于x轴对称的函数为:
②函数 关于y轴对称的函数为:
③函数 关于原点对称的函数为:
④函数 关于 对称的函数为:
⑤函数 关于 对称的函数为:
⑥函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑦函数 关于直线 轴对称的函数为: ;
⑧函数 关于点 中心对称的函数为: 。
16、若函数 为奇函数,且定义域为 ,则必有 。
若函数 是偶函数,那么 。
17、基本的函数图象变换:
(1)要作 的图象,只须将 的图象向上( 时)或向下( 时)
平移 个单位;
(2)要作 的图象,只须将 的图象向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
(3)要作 的图象,可先作函数 的图象,然后将 轴上方部分保持不变, 轴下方部分沿 轴对称上翻即可;
(4)要作 的图象,只需保留 在 轴右边的图象(擦去 轴左边的图解),然后将 轴右边部分对称地翻折到左侧即可。(注意 是偶函数)。
(5)要作 的图象,只须将 的图象作关于直线 对称,也可以将 的图象先作关于y轴对称,再向右( 时)或向左( 时)平移 个单位;
18、对称轴的斜率为 时的对称变换:
(1)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(2)曲线 关于直线 的对称曲线为 ;
(3)点 关于直线 的对称点为 ;
(4)点 关于直线 的对称点为 。
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