(1) , ;
(2) ;
(3) ( 为直线 与 轴的夹角);
(4)若 、 在准线 上的射影分别为 、 ,则 ;
(5)以焦点弦 为直径的圆与准线 相切,切点为 的中点;
(6)以焦半径 为直径的圆与 轴相切;
(7)以 为直径的圆与焦点弦 相切,切点为焦点F;
16、过抛物线的准线与对称轴的交点作抛物线的两条切线,则切点弦长等于该抛物线的通径。过抛物线 的对称轴上任意一点 作抛物线的切线,切点分别为 、 ,则直线过定点 。
17、由抛物线焦点发出的光线,经过抛物线上一点反射后,反射光线平行抛物线的轴。
18、若双曲线的两条渐近线方程分别为 ,则对应双曲线方程可设为为 为参数)。
19、等轴双曲线的离心率 ;双曲线的焦点到渐近线的距离等于虚半轴长 。
20、若一直线被双曲线及两条渐近线所截,则夹在双曲线与渐近线间的线段长相等。
21、点与圆锥曲线的位置关系:
(1)若点 在抛物线 内部,则 。
若点 在抛物线 外部,则 ;
(2)若点 在 内部,则 。
若点 在 外部,则 ;
(3)双曲线 内的点 (指点在双曲线弧内),满足 ;
双曲线 外的点 (指点在双曲线弧外),满足 。
22、若直线 与二次曲线交于 、 两点,则由:
,知直线与二次曲线相交所截得的弦长:
其中 (涉及直线与二次曲线相交的位置关系应注意 ,还需要注意圆锥曲线本身的范围。若求弦所在直线的斜率常用"点差法")。
23、中心在原点的椭圆、双曲线方程(焦点位置不定)可设为 (其中 且 时为椭圆, 时为双曲线)。
不错哦 24、圆锥曲线的参数方程:
(1)椭圆 的参数方程为 ( 为参数);
(2)双曲线 的参数方程为 ( 为参数);
(3)抛物线 的参数方程为 ( 为参数)。
25、若 为椭圆 上任一点, 、 为焦点, 为短轴的一个端点,则 (证明用到椭圆定义、余弦定理)。
26、与直线 平行的直线系方程为 (参数 );
与直线 垂直的直线系方程为 ( 为参数)。
27、共离心率的椭圆系方程为 ( 为参数)。椭圆的离心率 越接近1,椭圆越扁;椭圆的离心率越接近于0,椭圆就接近于圆。可以概括为:椭圆的离心率越大,椭圆越扁。
28、共渐近线的双曲线系方程为 ( 为参数)。
29、设 是椭圆 上的任意一点(不在长轴上), 、 为左右焦点,则称 为焦点三角形, , , ,该三角形有如下性质:
(1)离心率: ;
(2)面积: ;
(3)旁切球:左右两个旁切球的球心都在直线 上;
(4)设其内心为 ,连接PI并延长交长轴于点M,则有: ;
(5)当且仅当点P在短轴端点时, 最大, 也最大。
30、设 是双曲线 上的任意一点(不在实轴上), 、 为左右焦点, ,则 的面积为 。
31、椭圆 内接三角形,四边形的面积最大问题
(1)椭圆内接三角形面积的最大值为: (当且仅当三角形的重心为椭圆的中心);
(2)椭圆内接四边形面积的最大值为: (当且仅当四边形的对角线为椭圆的一对共轭直径)
32、设M,N为椭圆 上关于原点中心对称的两点,P为椭圆上异于M,N的任意一点,则 。(双曲线中为: )
33、已知两点 、 及直线
(1)若点 、 在直线 的同侧,则 。
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