小学四年级奥数专题讲座08:找规律（二）

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　　注意：表中除以3的余数并不需要计算出5ⁿ，然后再除以3去求，而是用上次的余数乘以5后，再除以3去求。比如，5²除以3的余数是1，5³除以3的余数与1×5=5除以3的余数相同。这是因为5²＝3×8+1，其中3×8能被3整除，而 　　5³=（3×8+1）×5=（3×8）×5+1×5， 　　（3×8）×5能被3整除，所以5³除以3的余数与1×5除以3的余数相同。 　　由上表看出，5ⁿ除以3的余数，随着n的增大，按2，1的顺序循环出现。由55÷2=27……1知，5⁵⁵÷3的余数与5¹÷3的余数相同，等于2。 例5 某种细菌每小时分裂一次，每次1个细茵分裂成3个细菌。20时后，将这些细菌每7个分为一组，还剩下几个细菌？

www.89xue.com 分析与解：1时后有1×3=3¹（个）细菌，2时后有3¹×3=3²（个）细菌……20时后，有3²⁰个细菌，所以本题相当于“求3²⁰÷7的余数”。 　　由例4（2）的方法，将3的各次方除以7的余数列表如下： 　　由上表看出，3ⁿ÷7的余数以六个数为周期循环出现。由20÷6＝3……2知，3²⁰÷7的余数与3²÷7的余数相同，等于2。所以最后还剩2个细菌。 　　最后再说明一点，aⁿ÷b所得余数，随着n的增大，必然会出现周期性变化规律，因为所得余数必然小于b，所以在b个数以内必会重复出现。  

 练习8 　　1．求下列各数的个位数字： 　　（1）38³⁸； （2）29³⁰； 　　（3）64³¹； （4）17²¹⁵。 　　2．求下列各式运算结果的个位数字： 　　（1）92²²＋57³¹； （2）61⁵+48⁷+34⁹； 　　（3）46⁹-62¹¹； （4）3⁷×4⁸+5⁹×6¹⁰。 　　3．求下列各除法算式所得的余数： 　　（1）5¹⁰⁰÷4； （2）8¹¹¹÷6； 　　（3）4⁸⁸÷7。

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