双曲线及其标准方程2 人教选修1-1

(三)双曲线的标准方程

现在来研究双曲线的方程．我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的方程．这时设问：求椭圆的方程的一般步骤方法是什么？不要求学生回答，主要引起学生思考，随即引导学生给出双曲线的方程的推导．

标准方程的推导：

(1)建系设点

取过焦点F₁、F₂的直线为x轴，线段F₁F₂的垂直平分线为y轴(如图2-24)

建立直角坐标系．

设M(x，y)为双曲线上任意一点，双曲线的焦距是2c(c＞0)，那么F₁、F₂的坐标分别是(-c，0)、(c，0)．又设点M与F₁、F₂的距离的差的绝对值等于常数．

(2)点的集合

由定义可知，双曲线就是集合：

P={M||MF₁|-|MF₂||=2a}={M|MF₁|-|MF₂|=±2a}．

(3)代数方程

(4)化简方程(由学生演板)

将这个方程移项，两边平方得：

化简得：

两边再平方，整理得：

(c²-a²

(以上推导完全可以仿照椭圆方程的推导．)

由双曲线定义，2c＞2a　 即c＞a，所以c²-a²＞0．

设c²-a²=b²(b＞0)，代入上式得：

b²x²-a²y²=a²b²．

这就是双曲线的标准方程．

两种标准方程的比较(引导学生归纳)：

教师指出：

(1)双曲线标准方程中，a＞0，b＞0，但a不一定大于b；

(2)如果x²项的系数是正的，那么焦点在x轴上；如果y²项的系数是正的，那么焦点在y轴上．注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定焦点在哪一坐标轴上．

(3)双曲线标准方程中a、b、c的关系是c²=a²+b²，不同于椭圆方程中c²=a²-b²．

(四)练习与例题

1．求满足下列的双曲线的标准方程：

焦点F₁(-3，0)、F₂(3，0)，且2a=4；

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