让教学设计更符合学生的认知

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现实世界自始自终贯穿在数学化之中，我们常把由现实世界直接形成数学概念的过程称为“概念的”数学化，它往往随着不同的认知水平而逐渐得到提高。观察、比较与识别现实世界中的具体问题，并在类比、归纳的实际经历过程中，建立数学模型，或是找出其共性与规律，形成数学的抽象与概括，也就是学会“数学化”。 案例3、数学归纳法原理。 常见的教学设计是以“多米诺骨牌效应”引入，这个“效应”对学生而言十分直观明了，容易接受，但紧接着引出数学归纳法的两个步骤，特别是第二步归纳假设用于证明的必要性学生不易理解，常常出现没有利用归纳假设的“伪数学归纳法”。究其原因是从多米诺骨牌效应的“形象化”，未逐步“数学化”，而从直观到抽象一步到位，学生无法从中提炼出数学本质。不妨经过简单的“数学化”，提炼出数学本质，使学生的认知结构进行变革“顺应”新的知识。具体步骤是： 第一步：形象化过程（多米诺骨牌效应的分析）：一列多米诺骨牌同时具备二个条件：⑴第一块倒下；⑵假设某一块倒下，可保证它后面的一块也倒下。结论是什么？ 第二步：简单的数学化过程（让学生将“多米诺骨牌”换成“偶数列”）：一个数列{a_n}同时具备二个条件：⑴第一个数是偶数；⑵假设某一个数是偶数，可证明它后面的一个数也是偶数。结论是：所有的数都是偶数。 第三步：理解数学本质（师生交流、生生交流）：议题：将数列问题中一个或二个条件中的“偶数”换成“奇数”，其结论有何变化？ 4、形式理解溯源化 对形式的理解，首先是对本质的理解。很多时候要追溯到形式、概念的定义，以及定义的必要性和合理性。 案例4、反函数的表示法。 教材中写道“在函数x=f ^—1（y）中，y表示自变量，x表示函数。但在习惯上，我们一般用x表示自变量，用y表示函数，为此我们常常对调函数x=f ^—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f ^—1（x）” 。为什么要把x=f ^—1（y）改写成y=f ^—1（x）？仅仅是因为“习惯”的原因？学生感到困惑，教师解释时感到理由不够充分。 我想，这要从反函数的定义以及作用来理解，x=f ^—1（y）与y=f（x）中，x的取值是相同的，y的取值也是相同的，因此在同一坐标系中的图象是相同的，但表示的意义是不同的，因为自变量与函数的地位已经互换。为了使x=f ^—1（y）与y=f（x）在同一坐标系中有相同地位的量在同一坐标轴上，便于研究它们的相互关系，才“对调函数x=f ^—1（y）中的字母x、y，把它改写成y=f ^—1（x）”，这样一来，x轴就是自变量轴，y轴就是函数轴。我们可以把这一理解，设计成提问或问题进行交流，在“数学学习的共同体”中，使学生对数学形式和数学本质有一个“个体创造性的理解”的过程。通过学生自身主动的建构，使新的学习材料在学生头脑中获得特定的意义，这就是在新的数学材料与学生已有的数学知识和经验之间建立实质性的、非任意的联系，不断完善学生个体的认知结构。

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