当 时, ,当 时, ;
或当 时, ,当 时, .
由 知 是 的一个极值点,则 ,
所以 ,又由 ,得 ,故 .
例4.(2006年安徽卷)若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为( )
A. B.
C. D.
[考查目的]本题主要考查函数的导数和直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]与直线 垂直的直线 为 ,即 在某一点的导数为4,而 ,所以 在(1,1)处导数为4,此点的切线为 .
故选A.
例5. ( 2006年重庆卷)过坐标原点且与x2+y2 -4x+2y+ =0相切的直线的方程为 ( )
A.y=-3x或y= x B. y=-3x或y=- x C.y=-3x或y=- x D. y=3x或y= x
[考查目的]本题主要考查函数的导数和圆的方程、直线方程等基础知识的应用能力.
[解答过程]解法1:设切线的方程为
又
故选A.
解法2:由解法1知切点坐标为 由
故选A.
例6.已知两抛物线 , 取何值时 , 有且只有一条公切线,求出此时公切线的方程.
思路启迪:先对 求导数.
解答过程:函数 的导数为 ,曲线 在点P( )处的切线方程为 ,即 ①
曲线 在点Q 的切线方程是 即
②
若直线 是过点P点和Q点的公切线,则①式和②式都是 的方程,故得
不错哦 ,消去 得方程,
若△= ,即 时,解得 ,此时点P、Q重合.
∴当时 , 和 有且只有一条公切线,由①式得公切线方程为 .
考点3 导数的应用
中学阶段所涉及的初等函数在其定义域内都是可导函数,导数是研究函数性质的重要而有力的工具,特别是对于函数的单调性,以"导数"为工具,能对其进行全面的分析,为我们解决求函数的极值、最值提供了一种简明易行的方法,进而与不等式的证明,讨论方程解的情况等问题结合起来,极大地丰富了中学数学思想方法.复习时,应高度重视以下问题:
1.. 求函数的解析式; 2. 求函数的值域; 3.解决单调性问题; 4.求函数的极值(最值);
5.构造函数证明不等式.
典型例题
例7.(2006年天津卷)函数 的定义域为开区间 ,导函数 在 内的图象如图所示,则函数 在开区间 内有极小值点( )
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
[考查目的]本题主要考查函数的导数和函数图象性质等基础知识的应用能力.
[解答过程]由图象可见,在区间 内的图象上有一个极小值点.
故选A.
例8 .(2007年全国一)设函数 在 及 时取得极值.
(Ⅰ)求a、b的值;
(Ⅱ)若对于任意的 ,都有 成立,求c的取值范围.
思路启迪:利用函数 在 及 时取得极值构造方程组求a、b的值.
解答过程:(Ⅰ) ,
因为函数 在 及 取得极值,则有 , .
即
解得 , .
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知, ,
.
当 时, ;
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