考点4 导数的实际应用
建立函数模型,利用
典型例题
例15. (2007年重庆文)
用长为18 cm的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大?最大体积是多少?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程]设长方体的宽为x(m),则长为2x(m),高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′(x)=0,解得x=0(舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′(x)>0;当1<x< 时,V′(x)<0,
故在x=1处V(x)取得极大值,并且这个极大值就是V(x)的最大值。
从而最大体积V=V′(x)=9×12-6×13(m3),此时长方体的长为2 m,高为1.5 m.
答:当长方体的长为2 m时,宽为1 m,高为1.5 m时,体积最大,最大体积为3 m3。
例16.(2006年福建卷)统计表明,某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗
油量 (升)关于行驶速度 (千米/小时)的函数解析式可以表示为:
已知甲、乙两地相距100千米.
(I)当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地要耗油多少升?
(II)当汽车以多大的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少?最少为多少升?
[考查目的]本小题主要考查函数、导数及其应用等基本知识,考查运用数学知识分析和解决实际问题的能力.
[解答过程](I)当 时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,
要耗没 (升).
不错哦 答:当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油17.5升。
(II)当速度为 千米/小时时,汽车从甲地到乙地行驶了 小时,设耗油量为 升,依题意得
令 得
当 时, 是减函数;当 时, 是增函数.
当 时, 取到极小值
因为 在 上只有一个极值,所以它是最小值.
答:当汽车以80千米/小时的速度匀速行驶时,从甲地到乙地耗油最少,最少为11.25升.
【专题训练与高考预测】
一、选择题
1. y=esinxcos(sinx),则y′(0)等于( )
A.0 B.1 C.-1 D.2
2.经过原点且与曲线y= 相切的方程是( )
A.x+y=0或 +y=0 B.x-y=0或 +y=0
C.x+y=0或 -y=0 D.x-y=0或 -y=0
3.设f(x)可导,且f′(0)=0,又 =-1,则f(0)( )
A.可能不是f(x)的极值 B.一定是f(x)的极值
C.一定是f(x)的极小值 D.等于0
4.设函数fn(x)=n2x2(1-x)n(n为正整数),则fn(x)在[0,1]上的最大值为( )
A.0 B.1 C. D.
5、函数y=(x2-1)3+1在x=-1处( )
A、 有极大值 B、无极值 C、有极小值 D、无法确定极值情况
6.f(x)=ax3+3x2+2,f'(-1)=4,则a=( )
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