p2= P(A·B)+ P(B·C)+ P(A·C)= ×(a×b+b×c+c×a)= (ab+bc+ca)
(Ⅱ) p1- p2= ab+bc+ca-2abc- (ab+bc+ca)= ( ab+bc+ca-3abc)
≥ = .
∴p1≥p2
例11.(2007年陕西卷文)
某项选拔共有四轮考核,每轮设有一个问题,能正确回答问题者进入下一轮考核,否则即被淘汰.已知某选手能正确回答第一、二、三、四轮的问题的概率分别为 、 、 、 ,且各轮问题能否正确回答互不影响.
(Ⅰ)求该选手进入第四轮才被淘汰的概率;
(Ⅱ)求该选手至多进入第三轮考核的概率. (注:本小题结果可用分数表示)
[考查目的]本小题主要考查相互独立事件、独立重复试验的概率计算,运用数学知识解决问题的能力,以及推理与运算能力.
[解答过程](Ⅰ)记"该选手能正确回答第 轮的问题"的事件为 ,则 , , , ,
该选手进入第四轮才被淘汰的概率 .
(Ⅱ)该选手至多进入第三轮考核的概率
.
考点2离散型随机变量的分布列
1.随机变量及相关概念
①随机试验的结果可以用一个变量来表示,这样的变量叫做随机变量,常用希腊字母ξ、η等表示.
②随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.
③随机变量可以取某区间内的一切值,这样的随机变量叫做连续型随机变量.
2.离散型随机变量的分布列
①离散型随机变量的分布列的概念和性质
一般地,设离散型随机变量 可能取的值为 , ,……, ,……, 取每一个值 ( 1,2,……)的概率P( )= ,则称下表.
…
…
P P1 P2 …
…
为随机变量 的概率分布,简称 的分布列.
由概率的性质可知,任一离散型随机变量的分布列都具有下述两个性质:
(1) , 1,2,…;(2) …=1.
②常见的离散型随机变量的分布列:
(1)二项分布
次独立重复试验中,事件A发生的次数 是一个随机变量,其所有可能的取值为0,1,2,…n,并且 ,其中 , ,随机变量 的分布列如下:
0 1 …
… P
…
称这样随机变量 服从二项分布,记作 ,其中 、 为参数,并记: .
(2) 几何分布
在独立重复试验中,某事件第一次发生时所作的试验的次数 是一个取值为正整数的离散型随机变量," "表示在第k次独立重复试验时事件第一次发生.
随机变量 的概率分布为:
1 2 3 … k …
P p qp
…
…
例12.(2007年四川卷理)
厂家在产品出厂前,需对产品做检验,厂家将一批产品发给商家时,商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验,以决定是否接收这批产品.
(Ⅰ)若厂家库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4件进行检验,求至少有1件是合格的概率;
(Ⅱ)若厂家发给商家20件产品中,其中有3件不合格,按合同规定该商家从中任取2件.都进行检验,只有2件都合格时才接收这批产品.否则拒收,求出该商家检验出不合格产品数 的分布列及期望 ,并求出该商家拒收这批产品的概率.
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