高三解析几何测试题

高三解析几何测试题,标签：高三数学,http://www.89xue.com
(2)由于过原点的直线L与椭圆相交的两点M、N关于坐标原点对称，
不妨设M(x0，y0)，N(－x0，－y0)，P(x，y)．
点M、N、P在椭圆上，（此括号内不是文章内容，来自学习方法网，阅读请跳过），则它们满足椭圆方程，
即有x02a2＋y02b2＝1，x2a2＋y2b2＝1，
两式相减，得y2－y02x2－x02＝－b2a2.
由题意它们的斜率存在，则kPM＝y－y0x－x0，kPN＝y＋y0x＋x0，
kPM•kPN＝y－y0x－x0•y＋y0x＋x0＝y2－y02x2－x02＝－b2a2，
则－b2a2＝－14.
由a＝2，得b＝1.
故所求椭圆的方程为x24＋y2＝1.
18．(12分)已知两点M(－1,0)，N(1,0)，点P为坐标平面内的动点，满足|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→.
(1)求动点P的轨迹方程；
(2)若点A(t,4)是动点P的轨迹上的一点，K(m,0)是x轴上的一动点，试讨论直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4的位置关系．
解析：(1)设P(x，y)，则MN→＝(2,0)，NP→＝(x－1，y)，
MP→＝(x＋1，y)．
由|MN→|•|NP→|＝MN→•MP→，
得2(x－1)2＋y2＝2(x＋1)，
化简，得y2＝4x.
故动点P的轨迹方程为y2＝4x.
(2)由点A(t,4)在轨迹y2＝4x上，
则42＝4t，解得t＝4，即A(4,4)．
当m＝4时，直线AK的方程为x＝4，
此时直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．
当m≠4时，直线AK的方程为y＝44－m(x－m)，
即4x＋m(m－4)y－4m＝0，
圆x2＋(y－2)2＝4的圆心(0,2)到直线AK的距离d＝|2m＋8|16＋(m－4)2，
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＜2，解得m＜1；
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＝2，解得m＝1；
令d＝|2m＋8|16＋(m－4)2＞2，解得m＞1.
综上所述，当m＜1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相交；
当m＝1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相切 ；
当m＞1时，直线AK与圆x2＋(y－2)2＝4相离．

19．(12分)如图，已知直线L：x＝my＋1过椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的右焦点F，且交椭圆C于A、B两点，若抛物线x2＝43y的焦点为椭圆C的上顶点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线L交y轴于点M，且MA→＝λ1AF→，MB→＝λ2BF→，当m变化时，求λ1＋λ2的值．
解析：(1)易知b＝3，得b2＝3.
又∵F(1,0)，
∴c＝1，a2＝b2＋c2＝4，
∴椭 圆C的方程为x24＋y23＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由x＝my＋1，3x2＋4y2－12＝0，
得(3m2＋4)y2＋6my－9＝ 0，Δ＝144(m2＋1)＞0，
于是1y1＋1y2＝2m3.(*)
∵L与y轴交于点M0，－1m，又由MA→＝λ1AF→，
∴x1，y1＋1m＝λ1(1－x1，－y1)，
∴λ1＝1－1my1.同理λ2＝－1－1my2.
从而λ1＋λ2＝－2－1m1y1＋1y2＝－2－23＝－83.
即λ1＋λ2＝－83.
20．(12分)设G、M分别为△ABC的重心与外心，A(0，－1)，B(0,1)，且GM→＝λAB→(λ∈R)．
(1)求点C的轨迹方程；
(2)若斜率为k的直线l与点C的轨迹交于不同两点P、Q，且满足|AP→|＝|AQ→ |，试求k的取值范围．
解析：(1)设C(x，y)，则Gx3，y3.
∵GM→＝λAB→，(λ∈R)，∴GM∥AB.
∵点M是三角形的外心，∴M点在x轴上，即Mx3，0.
又∵|MA→|＝|MC→|，
∴ x32＋(0＋1)2＝ x3－x2＋y2，
整理，得x23＋y2＝1，(x≠0)，即为曲线C的方程．
(2)①当k＝0时，l和椭圆C有不同两交点P、Q，根据椭圆对称性有|AP→|＝|AQ→|.
②当k≠0时，可设l的方程为y＝kx＋m，
联立方程组y＝kx＋m，x23＋y2＝1，消去y，
整理，得(1＋3k2)x2＋6kmx＋3(m2－1)＝0.(*)
∵直线l和椭圆C交于不同两点，
∴Δ＝(6km)2－4(1＋3k2)×(m2－1)＞0，
即1＋3k2－m2＞0.(**)
设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1，x2是方程(*)的两相异实根，
于是有x1＋x2＝－6km1＋3k2.
则PQ的中点N(x0，y0)的坐标是

上一页  [1] [2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]  下一页