高三数学不等式、推理与证明测试
高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符号题目要求的)
1.已知a,b,c∈R,那么下列命题中正确的是( )
A.若a>b,则ac2>bc2 B.若ac>bc,则a>b
C.若a3>b3且ab<0,则1a>1b D.若a2>b2且ab>0,则1a<1b
解析 C 当c=0时,可知选项A不正确;当c<0时,可知B不正确;由a3>b3且ab<0知a>0且b<0,所以1a>1b成立;当a<0且b<0时,可知D不正确.
2.若集合A={x||x-2|≤3,x∈R},B={y|y=1-x2,x∈R},则A∩B=( )
A.[0,1] B.[0,+∞)
C.[-1,1] D.∅
解析 C 由|x-2|≤3,得-1≤x≤5,即A={x|-1≤x≤5};B={y|y≤1}.故A∩B=[-1,1].
3.用数学归纳法证明“1+2+22+…+2n+2=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )
A.1 B.1+2
C.1+2+22 D.1+2+22+23
解析 D 当n=1时,左边=1+2+22+23.
4.已知x,y,z∈R+,且xyz(x+y+z)=1,则(x+y)(y+z)的最小值是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析 B ∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y×1xyz+xz=1xz+xz≥21xz•xz=2,当且仅当xz=1,y(x+y+z)=1时,取“=”,
∴(x+y)(y+z)min=2.
5.要证a2+b2-1-a2b2≤0,只要证明( )
A.2ab-1-a2b2≤0 B.a2+b2-1-a4+b42≤0
C.a+b22-1-a2b2≤0 D.(a2-1)(b2-1)≥0
解析 D 因为a2+b2-1-a2b2≤0⇔(a2-1)(b2-1)≥0,故选D.
6.对于平面α和共面的直线m、n,下列命题为真命题的是( )
A.若m⊥α,m⊥n,则n∥α B.若m∥α,n∥α,则m∥n
C.若m⊂α,n∥α,则m∥n D.若m、n与α所成的角相等,则m∥n
解析 C 对于平面α和共面的直线m,n,真命题是“若m⊂α,n∥α,则m∥n”.
7.若不等式2x2+2kx+k4x2+6x+3<1对于一切实数都成立,则k的取值范围是( )
A. (-∞,+∞) B. (1,3)
C. (-∞,3) D. (-∞,1)∪(3,+∞)
解析 B ∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+34≥34,
∴不等式等价于2x2+2kx+k<4x2+6x+3,
即2x2+(6-2k)x+3-k>0对任意的x 恒成立,
∴Δ=(6-2k)2-8(3-k)<0,∴1<k<3.
8.设函数f(x)=x2+x+a(a>0)满足f(m)<0,则f(m+1)的符号是( )
A.f(m+1)≥0 B.f(m+1)≤0
C.f(m+1)>0 D.f(m+1)<0
解析 C ∵f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a>0,
∴由f(m)<0,得-1<m<0, ∴m+1>0,∴f(m+1)>f(0)>0.
9.已知a>0,b>0,则1a+1b+2ab的最小值是( )
A.2 B.22