高三数学不等式、推理与证明测试

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C．4   D．5
　解析　C　∵a>0，b>0，  ∴1a＋1b＋2ab≥21ab＋2ab≥4，
          当且仅当a＝b＝1时取等号，∴1a＋1b＋2abmin＝4.
10．使不等式log2x(5x－1)>0成立的一个必要不充分条件是(　　)
A．x>12   B.15<x<25或x>12
C.15<x<1   D．0<x<12或x>12
　解析　D　log2x(5x－1)>0⇔
5x－1>0，2x>1，5x－1>1或5x－1>0，0<2x<1，5x－1<1⇔x>15，x>12，x>25或x>15，0<x<12，x<25，
∴x>12或15<x<25. 由x>12或15<x<25成立，可得x>12 或0<x<12成立，反之不成立，故选D.
11．假设f(x)＝x2－4x＋3，若实数x、y满足条件f(y)≤f(x)≤0，则点(x，y)所构成的区域的面积等于(　　)
A. 1   B. 2 
C. 3   D. 4
　解析　B　由f(y)≤f(x)≤0可得fy≤fx，fx≤0，即1≤x≤3，x－yx＋y－4≥0，
   画出其表示的平面区域如图所示，可得面积S＝2×12×2×1＝2，故选B.

12．设x，y 满足约束条件3x－y－6≤0，x－y＋2≥0，x≥0，y≥0，若目标函数z＝ax＋by(a>0，b>0)的最大值为12，则2a＋3b的最小值为(　　)
A.256   B.83 
C.113   D．4
　解析　A　作出可行域(四边形OBAC围成的区域，包括边界)如图，作出直线l：ax ＋by＝0，当直线l经过点A时，z＝ax＋by取得最大值．

解x－y＋2＝0，3x－y－6＝0，得点A(4,6)，∴4a＋6b＝12，即a3＋b2＝1，
∴2a＋3b＝2a＋3ba3＋b2＝23＋32＋ab＋ba≥23＋32＋2＝256，当且仅当a ＝b时取等号．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知等差数列{an}中，有a11＋a12＋…＋a2010＝a1＋a2＋…＋a3030，则在等比数列{bn}中，会有类似的结论：___ _____.
　解析　由等比数列的性质可知，b1b30＝b2b29＝…＝b11b20，∴10b11b12…b20＝30b1b2…b30 .
【答案】　10b11b12…b20＝30b1b2…b30
14．已知实数x，y满足约束条件x－y＋4≥0，x＋y≥0，x≤3，则z＝4x2－y的最小值为________．
　解析　作出不等式组所表示的可行域(图略)，z＝4x2－y＝22x•2y＝22x＋y，令ω＝2x＋y，可求得ω＝2x＋y的最小值是－2，所以z＝4x2－y的最小值为2－2＝14.
【答案】　14
15．某公司租地建仓库，每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比．如果在距离车站10 km处建仓库，这项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那 么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站________ km处．
　解析　设仓库建在离车站d km处，
由已知y1＝2＝k110，得k1＝20，∴y1＝20d.  由y2＝8＝10k2，得k2＝45，∴y2＝45d.
∴y1＋y2＝20d＋4d5≥220d•4d5＝8，当且仅当20d＝4d5，即d＝5时，费用之和最小．
【答案】　5
16．在不等边三角形中，a为最大边，要想得到∠A为钝角的结论，三边a，b，c应满足________．
　解析　由余弦定理cos A＝b2＋c2－a22bc<0，所以b2＋c2－a2<0，即a2>b2＋c2.
【答案】　a2>b2＋c2
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)已知表中的对数值有且只有两个是错误的.
x 1.5 3  5 6
lg x 3a－b＋c 2a－b a＋c 1＋a－b－c
x 7 8 9 14 27
lg x 2(a＋c) 3(1－a－c) 2(2a－b) 1－a＋2b 3(2a－b)
(1)假设上表中lg 3＝2a－b与lg 5＝a＋c都是正确的，试判断lg 6＝1＋a－b－c是否正确？给出判断过程；
(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明)．

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