高三数学不等式、推理与证明测试

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　解析　(1)由lg 5＝a＋c得lg 2＝1－a－c，
∴lg 6＝lg 2＋lg 3＝1－a－c＋2a－b＝1＋a－b－c，
满足表中数值，即lg 6在假设下是正确的．
(2)lg 1.5与lg 7是错误的，
正确值应为lg 1.5＝lg32＝lg 3－lg 2＝2a－b－1＋a＋c＝3a－b＋c－1. 
lg 7＝lg 14－lg 2＝1－a＋2b－1＋a＋c＝2b＋c.
18．(12分)已知f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6.
(1)解关于a的不等式f(1)>0；
(2)若不等式f(x)>b的解集为(－1,3)，求实数a、b的值．
　解析　(1)∵f(x)＝－3x2＋a(6－a)x＋6，
∴f(1)＝－3＋a(6－a)＋6＝－a2＋6a＋3>0
即a2－6a－3<0，解得3－23<a<3＋23.
∴不等式解集为{a|3－23<a<3＋23}．
(2)f(x)>b的解集为(－1,3)，
即方程－3x2＋a(6－a)x＋6－b＝0的两根为－1,3，
∴2＝a6－a3，－3＝－6－b3， 解得a＝3±3，b＝－3.
19．(12分)(2011•南京模拟)已知数列{an}满足a 1＝0，a2＝1，当n∈N*时，an＋2＝an＋1＋an.求证：数列{an}的第4m＋1(m∈N*)项能被3整除．
　解析　(1)当m＝1时，a4m＋1＝a5＝a4＋a3＝(a3＋a2)＋(a2＋a1)＝(a2＋a 1)＋2a2＋a1＝3a2＋2a1＝3＋0＝3.
即当m＝1时，第4m＋1项能被3整除．命题成立．
(2)假设当m＝k时，a4k＋1能被3整除，则当m＝k＋1时，
a4(k＋1)＋1＝a4k＋5＝a4k＋4＋a4k＋3＝2a4k＋3＋a4k＋2＝2(a4k＋2＋a4k＋1)＋a4k＋2＝3a4k＋2＋2a4k＋1.
显然，3a4k＋2能被3整除，又由假设知a4k＋1能被3整除，
∴3a4k＋2＋2a4k＋1能被3整除．
即当m＝k＋1时，a4(k＋1)＋1也能被3整除．命题也成立．
由(1)和(2)知，对于任意n∈N*，数列{an}中的第4m＋1(m∈N*)项能被3整除．
20．(12分)设二次函数f(x)＝x2＋ax＋a，方程 f(x)－x＝0的两根x1和x2满足0<x1<x2<1.
(1)求实数a的取值范围；
(2)试比较f(0)f(1)－f(0)与116的大小，并说明理由．
　解析　(1)令g(x)＝f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋a，
由题意可得Δ>0，0<1－a2<1，g1>0，g0>0⇔a<3－22或a>3＋22，－1<a<1，a>0
⇔0<a<3－22，
故实数a的取值范围是(0,3－22)．
(2)f(0)f(1)－f(0)＝g(0)g(1)＝2a2，
令h(a)＝2a2，∵当a>0时，h(a)单调递增，
∴当0<a<3－22时，0<h(a)<h(3－22)＝2(3－22)2＝2(17－122)＝2×117＋122<116，
即f(0)f(1)－f(0)<116. 
21．(12分)已知{an}是正数组成的数列，a1＝1，且点(an，an＋1)(n∈N*)在函数y＝x2＋1的图象上．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足b1＝1，bn＋1＝bn＋2an，求证：bn•bn＋2<b2n＋1.
　解析　(1)由已知得an＋1＝an＋1，则an＋1－an＝1，又a1＝1，所以数列{an}是以1为首项，1为公差的等差数列．故an＝1＋(n－1)×1＝n.
(2)由(1)知，an＝n，从而bn＋1－bn＝2n.
当n≥2时，
bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1
＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝1－2n1－2＝2n－1.
又b1＝1也适合上式，所以bn＝2n－1，
bn•bn＋2－b2n＋1＝(2n－1)(2n＋2－1)－(2n＋1－1)2
＝(22n＋2－2n＋2－2n＋1)－(22n＋2－2•2n＋1＋1 )
＝－2n<0.
所以bn•bn＋2<b2n＋1.
22．(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预定多少个单位的午餐和晚餐？
　解析　设该儿童分别预定x，（此括号内不是文章内容，来自学习方法网，阅读请跳过），y个单位的午餐和晚餐，共需z元，则z＝2.5x＋4y.
可行域为12x＋8y≥64，6x＋6y≥42，6x＋10y≥54，x≥0，y≥0，即3x＋2y≥16，x＋y≥7，3x＋5y≥27，x≥0，y≥0，
作出可行域如图阴影部分所示，所以当x＝4，y＝3时，花费最少，zmin＝22元．

因此，分别预定4个单位午餐和3个单位晚餐，就满足要求了．

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