平方差公式教案
教学过程
Ⅰ.提出问题,创设情境
[师]你能用简便方法计算下列各题吗?
(1)2001×1999 (2)998×1002
[生甲]直接乘比较复杂,我考虑把它化成整百,整千的运算,从而使运算简单,2001可以写成2000+1,1999可以写成2000-1,那么2001×1999可以看成是多项式的积,根据多项式乘法法则可以很快算出.
[生乙]那么998×1002=(1000-2)(1000+2)了.
[师]很好,请同学们自己动手运算一下.
[生](1)2001×1999=(2000+1)(2000-1)
=20002-1×2000+1×2000+1×(-1)
=20002-1
=4000000-1
=3999999.
(2)998×1002=(1000-2)(1000+2)
=10002+1000×2+(-2)×1000+(-2)×2
=10002-22
=1000000-4
=1999996.
[师]2001×1999=20002-12
998×1002=10002-22
它们积的结果都是两个数的平方差,那么其他满足这个特点的运算是否也有这个规律呢?我们继续进行探索.
Ⅱ.导入新课
[师]出示投影片
计算下列多项式的积.
(1)(x+1)(x-1)
(2)(m+2)(m-2)
(3)(2x+1)(2x-1)
(4)(x+5y)(x-5y)
观察上述算式,你发现什么规律?运算出结果后,你又发现什么规律?再举两例验证你的发现.
(学生讨论,教师引导)
[生甲]上面四个算式中每个因式都是两项.
[生乙]我认为更重要的是它们都是两个数的和与差的积.例如算式(1)是x与1这两个数的和与差的积;算式(2)是m与2这两个数的和与差的积;算式(3)是2x与1这两个数的和与差的积;算式(4)是x与5y这两个数的和与差的积.
[师]这个发现很重要,请同学们动笔算一下,相信你还会有更大的发现.
[生]解:(1)(x+1)(x-1)
=x2+x-x-1=x2-12
(2)(m+2)(m-2)
=m2+2m-2m-2×2=m2-22
(3)(2x+1)(2x-1)
=(2x)2+2x-2x-1=(2x)2-12
(4)(x+5y)(x-5y)
=x2+5y·x-x·5y-(5y)2
=x2-(5y)2
[生]从刚才的运算我发现:
也就是说,两个数的和与差的积等于这两个数的平方差,这和我们前面的简便运算得出的是同一结果.
[师]能不能再举例验证你的发现?
[生]能.例如:
51×49=(50+1)(50-1)=502+50-50-1=502-12.
即(50+1)(50-1)=502-12.
(-a+b)(-a-b)=(-a)·(-a)+(-a)·(-b)+b·(-a)+b·(-b)
=(-a)2-b2=a2-b2
这同样可以验证:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.
[师]为什么会是这样的呢?
[生]因为利用多项式与多项式的乘法法则展开后,中间两项是同类项,且系数互为相反数,所以和为零,只剩下这两个数的平方差了.
[师]很好.请用一般形式表示上述规律,并对此规律进行证明.
[生]这个规律用符号表示为:
(a+b)(a-b)=a2-b2.其中a、b表示任意数,也可以表示任意的单项式、多项式.