平行四边形较难练习题

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1、已知：平行四边形ABCD中，E在AC上，AE=2EC,F在AB上，BF=2AF，若△BEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是___________. 2、平行四边形ABCD中，∠ADC＝60°,AF⊥BC于F，AF交BD于E，若DE=2CD，则∠AED＝_________ 3、在平行四边形ABCD中，AE=CF，AE与CF交于点O，连OB，求证：∠AOB＝∠COB。   4、在等腰△ABC的腰AB上取一点D，另一腰AC的延长线上取一点E，使CE＝BD，连DE，求证：DE﹥BC。（提示：构造平行四边形！） 5、如图，线段AB＝CD，AB、CD相交于点O，且∠AOC＝60°，    求证：AC+BD﹥AB。（提示：构造平行四边形！）     再复习一下平行四边形：     平行四边形是一种极重要的几何图形．这不仅是因为它是研究更特殊的平行四边形——矩形、菱形、正方形的基础，还因为由它的定义知它可以分解为一些全等的三角形，并且包含着有关平行线的许多性质，因此，它在几何图形的研究上有着广泛的应用． 　　由平行四边形的定义决定了它有以下几个基本性质： 　　(1)平行四边形对角相等，邻角互补； 　　(2)平行四边形对边平行且相等； 　　(3)平行四边形对角线互相平分． 　　除了定义以外，平行四边形还有以下几种判定方法： 　　(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形； 　　(2)对角线互相平分的四边形是平行四边形； 　　(3)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．   例1 如图2-32所示．在 ABCD中，AE⊥BC，CF⊥AD，DN=BM．求证：EF与MN互相平分． 　　分析 只要证明ENFM是平行四边形即可，由已知，提供的等量要素很多，可从全等三角形下手． 　　证 因为ABCD是平行四边形，所以 AD BC，AB CD，∠B=∠D． 　　又AE⊥BC，CF⊥AD，所以AECF是矩形，从而 AE=CF． 　　所以 　　Rt△ABE≌Rt△CDF(HL，或AAS)，BE=DF．又由已知BM=DN，所以 △BEM≌△DFN(SAS)， 　　ME=NF． ① 　　又因为AF=CE，AM=CN，∠MAF=∠NCE，所以 △MAF≌△NCE(SAS)， 　　所以 MF=NF． ② 　　由①，②，四边形ENFM是平行四边形，从而对角线EF与MN互相平分． 　　  例2 如图2-33所示．Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC且交AC于F．求证：AE=CF．　　分析 AE与CF分处于不同的位置，必须通过添加辅助线使两者发生联系．若作GH⊥BC于H，由于BG是∠ABC的平分线，故AG=GH，易知△ABG≌△HBG．又连接EH，可证△ABE≌△HBE，从而AE=HE．这样，将AE“转移”到EH位置．设法证明EHCF为平行四边形，问题即可获解． 　　证 作GH⊥BC于H，连接EH．因为BG是∠ABH的平分线，GA⊥BA，所以GA=GH，从而 △ABG≌△HBG(AAS)， 　　所以 AB=HB． ① 　　在△ABE及△HBE中， ∠ABE=∠CBE，BE=BE， 　　所以 △ABE≌△HBE(SAS)， 　　所以 AE=EH，∠BEA=∠BEH． 　　下面证明四边形EHCF是平行四边形． 　　因为AD∥GH，所以 　　∠AEG=∠BGH(内错角相等)． ② 　　又∠AEG=∠GEH(因为∠BEA=∠BEH，等角的补角相等)，∠AGB=∠BGH(全等三角形对应角相等)，所以 ∠AGB=∠GEH． 　　从而 EH∥AC(内错角相等，两直线平行)． 　　由已知EF∥HC，所以EHCF是平行四边形，所以 FC=EH=AE． 　　说明 本题添加辅助线GH⊥BC的想法是由BG为∠ABC的平分线的信息萌生的(角平分线上的点到角的两边距离相等)，从而构造出全等三角形ABG与△HBG．继而发现△ABE≌△HBE，完成了AE的位置到HE位置的过渡．这样，证明EHCF是平行四边形就是顺理成章的了．

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