高三立体几何章末综合测试题

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A．6a2　 　 　 B．12a2　
C．18a2　　　 D．24a2
　解析　B　依题意，小正方体的棱长为a3，所以27个小正方体的表面积总和为27×6×a32＝18a2，故表面积增加量为18a2－6a2＝12a2.
8．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为(　　)
A.63   B.265 
C.155   D.105
　解析　D　如图，连接A1C1，B1D1，交于点O1，由长方体的性质易知∠C1BO1为BC1与平面BB1D1D所成的角．
∵BC＝2，CC1＝1，∴BC1＝22＋1＝5，
又C1O1＝12A1C1＝1222＋22＝2，
∴在Rt△BO1C1中，sin ∠C1BO1＝O1C1BC1＝25＝105.
9．已知α，β，γ是三个不同的平面，命题“α∥β，且α⊥γ⇒β⊥γ”是真命题，如果把α，β，γ中的任意两个换成直线，另一个保持不变，在所得的所有命题中，真命题有(　　)
A．0个   B．1个 
C．2个   D．3个
　解析　C　若α，β换为直线a，b，则命题化为“a∥b，且a⊥γ⇒b⊥γ”，此命题为真命题；若α，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥β，且a⊥b⇒b⊥β”，此命题为假命题；若β，γ换为直线a，b，则命题化为“a∥α，且b⊥α⇒a⊥b”，此命题为真命题．
10．如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝10，AD＝5，AA1＝4.分别过BC、A1D1的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为V1＝VAEA1－DFD1，V2＝VEBE1A1－FCF1D1，V3＝VB1E1B－C1F1C.若V1∶V2∶V3＝1∶3∶1，则截面A1EFD1的面积为(　　)            
A．410   B．83 
C．202   D．162
　解析　C　由V1＝V3，可得AE＝B1E1，设AE＝x，则12x×4×5∶[(10－x)×4×5]＝1∶3，得x＝4，则A1E＝42＋42＝42，所以截面A1EFD1的面积为202.
11．如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为(　　)
           A．30°  
           B．45° 
           C．60°  
           D．90°
解析　C　还原正方体，如下图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.故选C.

12．连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于27、43，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，有下列四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值为5；
④MN的最小值为1.
其中真命题的个数是  (　　)
A．1  B．2 
C．3   D．4
　解析　C　易求得M、N到球心O的距离分别为OM＝3，ON＝2，若两弦交于M，则ON⊥MN，在Rt△ONM中，有ON<OM，符合题意，故①正确．若两弦交于N，同①推得，OM<ON，矛盾，故②错．当M、O、N共线，M、N在O同侧，则MN取最小值1；M、N在O两侧，则MN取最大值5，故③④正确．
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横 线上)
13. 如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.(注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况)

　解析　∵FH∥DD1，HN∥BD，∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，∴MN∥平面B1BDD1.(答案不唯一)

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