高三立体几何章末综合测试题

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(1)求二面角E－AC－D1的大小；
(2)在D1E上是否存在一点P，使A1P∥平面EAC？若存在，求D1P∶PE的值；若不存在，说明理由．
　解析　设AC与BD交于O，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz，设AB＝2，则A(3，0,0)，B(0,1,0)，C(－3，0,0)，D(0，－1,0)，D1(0，－1,2)，A1(3，0,2)．

(1)设E(0,1,2＋h)，则D1E→＝(0,2，h)，AC→＝(－23，0,0)，D1A→＝(3，1，－2)，
∵D1E⊥平面D1AC，
∴D1E⊥AC，D1E⊥D1A，
∴D1E→•AC→＝0，D1E→•D1A→＝0，
∴2－2h＝0，∴h＝1，即E(0,1,3)，
∴D1E→＝(0,2,1)，AE→＝(－3，1,3)．
设平面EAC的法向量为m＝(x，y，z)，
则m⊥AC→，m⊥AE→，
∴x＝0，－3x＋y＋3z＝0，
令z＝－1，得m＝(0,3，－1)，
∴cos〈m，D1E→〉＝m•D1E→|m||D1E→|＝22，
∴二面角E－AC－D1的大小为45°.
(2)设D1P→＝λPE→＝λ(D1E→－D1P→)，
则D1P→＝λ1＋λD1E→＝0，2λ1＋λ，λ1＋λ，
∴A1P→＝A1D1→＋D1P→
＝(－3，－1,0)＋0，2λ1＋λ，λ1＋λ
＝－3，λ－11＋λ，λ1＋λ.
∵A1P∥平面EAC，
∴A1P→⊥m，
∴A1P→•m＝0，
∴－3×0＋3×λ－11＋λ＋(－1)×λ1＋λ＝0，
∴λ＝32.
∴存在点P使A1P∥平面EAC，
此时D1P∶PE＝3∶2.

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