抛物线及其标准方程的教学案例

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    并且把绳子的另一端固定在图板上的一点F,用铅笔尖扣着绳子,使点A到笔尖的一段绳子紧靠着三角尺,然后将三角尺沿着直尺上下滑动,笔尖就在图板上描一条抛物线。
    (此实验教师在一个小黑板演示,提醒学生仔细观察,请学生说出这条曲线上的点有何特征?)
    概 括:这条曲线上任意一点P到F的距离与它到直线 的距离相等。
    即有|PC|=|PF|;|OK|=|OF|。
    我们把这样的曲线叫做抛物线,由此我们得到抛物线的一般定义。
    二、讲解新课:
    1. 抛物线定义:
    平面内与一个定点F和一条定直线 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。定点F叫做抛物线的焦点,定直线 叫做抛物线的准线。
    2.推导抛物线的标准方程:
    如图所示,建立直角坐标系系,设|KF|= ( >0),那么焦点F的坐标为 ,准线 的方程为 ,
    设抛物线上的点M(x,y),则有 。
    化简方程得 。
    方程 叫做抛物线的标准方程。
    (对方程的理解,教师要注重提示和对学生的引导)。
    分 析:
    (1)它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,焦点坐标是F( ,0),它的准线方程是 。
    (2)一条抛物线,由于它在坐标系的位置不同,方程也不同,有四种不同的情况,所以抛物线的标准方程还有其他几种形式: , , 。四种抛物线的图形、标准方程、焦点坐标以及准线方程如下。
    3、探究活动:学生分三组推导开口向左,开口向上、开口向下抛物线的标准方程。3分钟后每组选一个代表起来填写下表:
    图形
    标准方程
    焦点坐标
    准线方程
    y2 = 2px(p>0)

不错哦     ( ,0)
    x = -
    学生通过观察、思考、相互合作总结、提炼抛物线的开口方向、对称轴、焦点位置与其标准方程中的一次变量之间有什么关系?
    充分让学生来思考和总结,我没有很快的打断学生的思路,及时的提示学生。
    顶
    点
    在
    原
    点
    对称轴为x轴
    标准方程为
    y2=2px(p>0)
    开口与x轴正向同向:y2=2px
    开口与x轴正向反向:y2=-2px
    对称轴为y轴
    标准方程为
    x2=2py(p>0)
    开口与y轴正向同向:x2=2py
    开口与y轴正向反向:x2=-2py
    4、抛物线的标准方程。
    这样归纳,便于学生理解和很好的记住。
    三、例题讲解:
    例1(1)已知抛物线标准方程是 ,求它的焦点坐标和准线方程。
    (2)已知抛物线的焦点坐标是F(0,-2),求它的标准方程。
    分析:(1)在标准方程下焦点坐标和准线方程都是用p的代数式表示的,所以只要求出p即可;
    (2)求的是标准方程,因此所指抛物线应过原点,结合焦点坐标求出p,问题易解。
    解 析:(1)p=3,焦点坐标是( ,0)准线方程是x=- 。
    (2)焦点在y轴负半轴上, =2,
    所以所求抛物线的标准议程是 。
    例2 求满足下列条件的抛物线的标准方程:
    (1)焦点坐标是F(-5,0)
    (2)经过点A(2,-3)

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