圆的方程教学设计
[07-12 16:26:19] 来源:http://www.89xue.com 高一数学教学设计 阅读:9329次
摘要: 解:根据题意,得 即x2-2x+y2-3=0, ① 变形,得(x-1)2+y2=4. ② 由方程①通过配方化为②,可知动点M的轨迹是以(1,0)为圆心、2为半径的圆. 思考:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否都表示圆呢? [练 习] 写出满足下列条件的圆的方程. (1)圆心在原点,半径为5. (2)圆心在C(6,-2),经过点P(5,1). 思考:点P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断方。
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解:根据题意,得
即x2-2x+y2-3=0, ①
变形,得(x-1)2+y2=4. ②
由方程①通过配方化为②,可知动点M的轨迹是以(1,0)为圆心、2为半径的圆.
思考:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否都表示圆呢?
[练 习]
写出满足下列条件的圆的方程.
(1)圆心在原点,半径为5.
(2)圆心在C(6,-2),经过点P(5,1).
思考:点P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断方法是什么?
四、建立模型(2)
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方,得 ,与圆的标准方程比较,可知
(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.
(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有一个解,表示一个点(- ,- ).
(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0无实数解,不表示任何图形.
结论:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.
思考:(1)圆的标准方程与一般方程的特点.
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:x2,y2的系数相同且不等于0,没有xy这样的项,是特殊的二元一次方程.
不错哦 (2)探讨一般的二元一次方程:Ax2+Cy2+Bxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件.
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
五、解释应用(2)
[例 题]
1. 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析:确定圆的一般方程,只要确定方程中三个常数D,E,F,为此,用待定系数法.
解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为O,M1,M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程,得
于是,得到所求圆的方程:x2+y2-8x+6y=0.
由前面的讨论可知,所求的圆的半径 ,圆心坐标是(4,-3).
思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法?
2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.问:一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道?
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系如图25.2,那么半圆的方程为x2+y2=16,(y≥0).
将x=2.7代入,得
即离中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度.
因此,货车不能驶入这个隧道.
思考:假设货车的最大宽度为am,那么货车要驶入该隧道,限高至少为多少米?
[练 习]
1. 求经过三点A(-1,5),B(5,5C(6,2)的圆的方程.
2. 求过两点A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线3x-y-2=0上的圆的方程.
六、拓展延伸
1. 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,求切线l的方程.
思考:(1)当点A的坐标为(2,2)或(1,1)时,讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化?
解:根据题意,得
即x2-2x+y2-3=0, ①
变形,得(x-1)2+y2=4. ②
由方程①通过配方化为②,可知动点M的轨迹是以(1,0)为圆心、2为半径的圆.
思考:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0是否都表示圆呢?
[练 习]
写出满足下列条件的圆的方程.
(1)圆心在原点,半径为5.
(2)圆心在C(6,-2),经过点P(5,1).
思考:点P(x0,y0)与(x-a)2+(y-b)2=r2位置关系的判断方法是什么?
四、建立模型(2)
将方程x2+y2+Dx+Ey+F=0配方,得 ,与圆的标准方程比较,可知
(1)当D2+E2-4F>0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示以(- ,- )为圆心、以 为半径的圆.
(2)当D2+E2-4F=0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0只有一个解,表示一个点(- ,- ).
(3)当D2+E2-4F<0时,方程x2+y2+Dx+Ey+F=0无实数解,不表示任何图形.
结论:方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,(D2+E2-4F>0)叫作圆的一般方程.
思考:(1)圆的标准方程与一般方程的特点.
圆的标准方程的优点在于它明确地指出了圆心及半径,而一般方程突出了方程形式上的特点:x2,y2的系数相同且不等于0,没有xy这样的项,是特殊的二元一次方程.
不错哦 (2)探讨一般的二元一次方程:Ax2+Cy2+Bxy+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件.
Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件为A=C≠0,B=0且D2+E2-4F>0.
五、解释应用(2)
[例 题]
1. 求过三点O(0,0),M1(1,1),M2(4,2)的圆的方程,并求这个圆的半径和圆心坐标.
分析:确定圆的一般方程,只要确定方程中三个常数D,E,F,为此,用待定系数法.
解:设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
因为O,M1,M2在圆上,所以它们的坐标是方程的解.把它们的坐标依次代入上面的方程,得
于是,得到所求圆的方程:x2+y2-8x+6y=0.
由前面的讨论可知,所求的圆的半径 ,圆心坐标是(4,-3).
思考:本题能否利用圆的标准方程求解?有无其他方法?
2. 已知隧道的截面是半径为4m的半圆,车辆只能在道路中心线一侧行驶.问:一辆宽为2.7m、高为3m的货运车能不能驶入这个隧道?
解:以某一截面半圆的圆心为坐标原点,半圆的直径AB所在的直线为x轴,建立直角坐标系如图25.2,那么半圆的方程为x2+y2=16,(y≥0).
将x=2.7代入,得
即离中心线2.7m处,隧道的高度低于货车的高度.
因此,货车不能驶入这个隧道.
思考:假设货车的最大宽度为am,那么货车要驶入该隧道,限高至少为多少米?
[练 习]
1. 求经过三点A(-1,5),B(5,5C(6,2)的圆的方程.
2. 求过两点A(3,1),B(-1,3)且圆心在直线3x-y-2=0上的圆的方程.
六、拓展延伸
1. 自点A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线,求切线l的方程.
思考:(1)当点A的坐标为(2,2)或(1,1)时,讨论该切线l与圆的位置关系分别有什么变化?
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