点到直线的距离教案

教学目标:
    (1) 至少掌握点到直线的距离公式的一种推导方法,能用公式来求点到直线距离。
    (2) 培养学生探究能力和由特殊到一般的研究问题的能力。
    (3) 认识事物(知识)之间相互联系、互相转化的辩证法思想,培养学生转化的思想和综合应用知识分析问题解决问题的能力。
    (4) 培养学生团队合作精神,培养学生个性品质,培养学生勇于探究的科学精神。
    教学重点:点到直线的距离公式推导及公式的应用
    教学难点:点到直线的距离公式的推导
    教学方法:启发引导法、讨论法
    学习方法:任务驱动下的研究性学习
    教学时间:45分钟
    教学过程:
    1 .教师提出问题,引发认知冲突(约5分钟)
    问题:假定在直角坐标系上,已知一个定点P(x0 ,y0)和一条定直线l: Ax+By+C=0,那么如何求点P到直线l的距离d?请学生思考并回答。
    学生1:先过点P作直线l的垂线,垂足为Q,则|PQ|就是点P到直线l的距离d;然后用点斜式写出垂线方程,并与原直线方程联立方程组,此方程组的解就是点Q的坐标;最后利用两点间距离公式求出|PQ|。
    接着,教师用投影出示下列5道题(尝试性题组),请5位学生上黑板练习(第(4)题请一位运算能力强的同学,其余学生在下面自己练习,每做完一题立即讲评):
    (1)求P(1 ,2)到直线l:x=3的距离d;(答案:d=2)
    (2)求P(x0 ,y0)到直线l:By+C=0(B≠0)的距离d;(答案: )
    (3) 求P(x0 ,y0)到直线l:Ax+C=0(A≠0)的距离d;(答案: )
    (4) 求P(6 ,7)到直线l:3x-4y+5=0的距离d;(答案:d=1)
    (5) 求P(x0 ,y0)到直线l:Ax+By+C=0(AB≠0)的距离d。
    第(1)容易、(2)和(3)题虽然含有字母参数,但由于直线的位置比较特殊,学生不难得出正确结论;第(4)题虽然运算量较大,但按照刚才学生1回答的方法与步骤,也能顺利解出正确答案;第(5)题虽然思路清晰,但由于字母参数过多、运算量太大行不通。学生们陷入了困境。
    2.教师启发引导,学生走出困境(约8分钟)
    教师:根据以上5位学生的运算结果,你能得到什么启示?
    学生2:当直线的位置比较特殊(水平或竖直)时,点到直线的距离容易求得,而当直线是倾斜位置时则较难;含有多个字母时虽然想起来思路很自然,但具体操作起来因计算量很大而无法得出结果。
    教师:那么,练习(5)有没有运算量小一点的推导方法呢?我们能不能根据刚才的第(2)、(3)的启示,借助水平、竖直情形和平面几何知识来解决倾斜即一般情况呢?请同学们思考。