高三数学三角函数、解三角形章末复习测试

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二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．(2011•黄冈模拟)已知函数f(x)＝Acos(ωx＋φ)的图象如图所  
    示，fπ2＝－23，则f(0)＝________.
　解析　由图象可得最小正周期为2π3.   所以f(0)＝f2π3，注意到2π3与π2关于7π12对称，
         故f2π3＝－fπ2＝23.
   【答案】　23
14．设a、b、c分别是△ABC中角A、B、C所对的边，sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，且     
   满足ab＝4，则△ABC的面积 为________．
　解析　由sin2A＋sin2B－sin Asin B＝sin2C，得a2＋b2－ab＝c2，∴2cos C＝1.∴C＝60°.
         又∵ab＝4，∴S△ABC＝12absin C＝12×4×sin 60°＝3.
  【答案】　3
15．在直径为30 m的圆形广场中央上空，设置一个 照明光源，射向地面的光呈圆形，且其     
轴截面顶角为120°，若要光源恰好照亮整个广场，则光源的 
高度为________m.
　解析　轴截面如图，则光源高度h＝15tan 60°＝53(m)．
【答案】　53
16. 如图所示，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P(点P不在C上)且半径相等．设第i段弧所对的圆心角为αi(i＝1,2,3)，则cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33＝________.
　解析　记相应的三个圆的圆心分别是O1，O2，O3，半径为r，依题意知，可考虑特殊情     
         形，从而求得相应的值．当相应的每两个圆的公共弦都恰好等于圆半径时，易知         
        有α1＝α2＝α3＝2π－2π3＝4π3，此时cosα13cosα2＋α33－sinα13sinα2＋α33
          ＝cosα1＋α2＋α33＝cos4π3＝cosπ＋π3＝－cosπ3＝－12.
【答案】　－12
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分)在△ABC中，如果lg a－lg c＝lg sin B＝lg22，且B为锐角，试判断此三角形的形状．
　解析　∵lg sin B＝lg22，∴sin B＝22，
∵B为锐角，∴B＝45°.
又∵lg a－lg c＝lg22，∴ac＝22.
由正弦定理，得sin Asin C＝22，
∴2sin C＝2sin A＝2sin(135°－C)，
即sin C＝sin C＋cos C，∴cos C＝0，∴C＝90°，
故△ABC为等腰直角三角形．
18．(12分)已知函数f(x)＝2cos2ωx＋2sin ωxcos ωx＋1(x∈R，ω＞0)的最小正周期是π2.
(1)求ω 的值；
(2)求函数f(x)的最大值，并且求使f(x)取得最大值的x的集合．
　解析　(1)f(x)＝1＋cos 2ωx＋sin 2ωx＋1
＝sin 2ωx＋cos 2ωx＋2
＝2sin2ωx＋π4＋2.
由题设，函数f(x)的最小正周期是π2，可得2π2ω＝π2，
所以ω＝2.
(2)由(1)知，f(x)＝2sin4x＋π4＋2.
当4x＋π4＝π2＋2kπ(k∈Z)，即x＝π16＋kπ2(k∈Z)时，
sin4x＋π4取得最大值1，所以函数f(x)的最大值是2＋2，此时x的集合为xx＝π16＋kπ2，k∈Z.
19．(12分)在△ABC 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin Aa＝3cos Cc.
(1)求角C的大小；
(2)如果a＋b＝6，CA→•CB→＝4，求c的值．
　解析　(1)因为asin A＝csin C，sin Aa＝3cos Cc，
所以sin C＝3cos C．所以tan C＝3.

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