tanα= .
这里要注意区分坡度和坡角.坡面的铅直高度与水平宽度的比即坡角的正切称为坡度.坡度越大,坡面就越陡.
Ⅲ.例题讲解
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[例1]如图是甲、乙两个自动扶梯,哪一个自动扶梯比较陡?
分析:比较甲、乙两个自动电梯哪一个陡,只需分别求出tanα、tanβ的值,比较大小,越大,扶梯就越陡.
解:甲梯中,
tanα=
乙梯中,
tanβ=
因为tanβ>tanα,所以乙梯更陡.
[例2]在△ABC中,∠C=90°,BC=12cm,AB=20cm,求tanA和tanB的值.
分析:要求tanA,tanB的值,根据勾股定理先求出直角边AC的长度.
解:在△ABC中,∠C=90°,
所以AC= =16(cm),
tanA=
tanB=
所以tanA= ,tanB= .
Ⅳ.随堂练习
1.如图,△ABC是等腰直角三角形,你能根据图中所给数据求出tanC吗?
分析:要求tanC,需从图中找到∠C所在的直角三角形.因为BD⊥AC,所以∠C在Rt△BDC中.然后求出∠C的对边与邻边的比,即 的值.
解:∵△ABC是等腰直角三角形,BD⊥AC,
∴CD= AC= ×3=1.5.
在Rt△BDC中,tanC= =1.
2.如图,某人从山脚下的点A走了200m后到达山顶的点B,已知点B到山脚的垂直距离为55m,求山的坡度.(结果精确到0.001)
分析:由图可知,∠A是坡角,∠A的正切即tanA为山的坡度.
解:根据题意:
在Rt△ABC中,AB=200m,BC=55m,
AC= ≈5×38.46=192.30(m).
tanA= ≈0.286.
所以山的坡度为0.286.
Ⅴ.课时小结
本节课从梯子的倾斜程度谈起,经历了探索直角三角形中的边角关系,得出了在直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定,并以此为基础,在"Rt△"中定义了tanA= .
接着,我们研究了梯子的倾斜程度,工程中的问题坡度与正切的关系,了解了正切在现实生活中是一个具有实际意义的一个很重要的概念.
Ⅵ.课后作业
1.习题1.1第1、2题.
2.观察学校及附近商场的楼梯,哪个更陡.
Ⅶ.活动与探究
(2003年江苏盐城)如图,Rt△ABC是一防洪堤背水坡的横截面图,斜坡AB的长为12m,它的坡角为45°,为了提高该堤的防洪能力,现将背水坡改造成坡比为1∶1.5的斜坡AD,求DB的长.(结果保留根号)
[过程]要求DB的长,需分别在Rt△ABC和Rt△ACD中求出BC和DC.根据题意,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,AB=12m,则可根据勾股定理求出BC;在Rt△ADC中,坡比为1∶1.5,即tanD=1∶1.5,由BC=AC,可求出CD.
[结果]根据题意,在Rt△ABC中,∠ABC=45°,所以△ABC为等腰直角三角形.设BC=AC=x m,则
x2+x2=122,
x=6 ,
所以BC=AC=6 .
在Rt△ADC中,tanD= ,
即 = ,CD=9 .
所以DB=CD-BC=9 -6 =3 (m).
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§1.1.1 从梯子的倾斜程度谈起(一)
1.当直角三角形中的锐角确定之后,它的对边与邻边之比也随之确定.
2.正切的定义:
在Rt△ABC中,锐角A确定,那么∠A的对边与邻边的比随之确定,这个比叫做∠A的正切,记作tanA,即
tanA= .
注:(1)tanA的值越大,梯子越陡.
(2)坡度通常表示斜坡的倾斜程度,是坡角的正切.坡度越大,坡面越陡.
3.例题讲解(略)
4.随堂练习
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