第三课时(椭圆)人教选修1-1
B点纵坐标作为参数即可.由于OA在绕点O旋转,而且它的半径已知,△BOR、△AON匀为Rt△,故选转角∠AOx为参数,就既能表示B点的纵坐标,又能表示A点的横坐标.
[师]很好,生甲分析得透彻,大家听清楚了吗?
[生]明白啦!
[师]好,下面我们来写出解答过程(请一名同学在黑板上板书)
[生乙]设点M的坐标是(x,y),φ是以Ox为始边,OA为终边的正角,取φ为参数,那么
x=ON=|OA|cosφ
y=NM=|OB|sinφ
即
这就是所求点M的轨迹的参数方程.
[师]做完的同学请举手.好,请放下,我们来看生乙的解答(师生共同审阅),有没有不完善或不严密的地方?
[生丙]我认为在取φ为参数的地方,标明参数的取值范围要严密一些,即标出0<φ<2π
[师]生丙所说的有道理吗?有必要吗?
(学生考虑)
[师]生丙所说的是非常有道理的,标明参数的取值范围是非常有必要的,不要以为课本上未谈及咱来谈就是多余的,就是多此一举的.事实上,求曲线的参数方程,对参数的范围是应予以足够重视的.这点在我们以后的做题中要引起注意.
至此,按题目要求,这道题我们做完啦,假如这道题条件不变,所求改为求点M的轨迹,我们该如何做呢?
[生]求出点M的轨迹方程,再指出轨迹是怎样的曲线吗?
[师]正确,怎样求其轨迹方程呢?求普通方程还是求参数方程呢?
不错哦
[生]都可以.
[师]求出参数方程后,你能根据方程指出曲线类型吗?就是说上面所求出方程,你知道它表示的曲线是什么吗?
(生无言以对,也有可能根据我们前面演示的直观,或根据课前的预习会说是椭圆,但为什么呢?这时教师要抓住时机,指出应当怎样确定曲线的类型).
[师]求出曲线的参数方程后,要想进一步确定曲线的类型,采用的方法仍然是化生疏为熟悉,将参数中的参数消去,得到曲线的普通方程,从而指出曲线类型,比如上面的参数方程,我们将两个方程分别变形,得:
=cosφ,
=sinφ
利用三角函数中同一角的三角函数关系,即可消去参数,也就是将方程两边平方后相加,
得:
即消去方程中的参数后,得到的方程是椭圆的标准方程: