[生]因为x是自变量,y是因变量,给x一个值,相应地就确定了一个y的值,因此根据函数的定义,y是x的函数.
但是从函数形式上看,它不同于正比例函数,一次函数与反比例函数,自变量的最高次数是2,所以我猜测可能是二次函数.
二、想一想
在上述问题中,种多少棵橙子树,可以使果园橙子的总产量最多?
[师]请大家发表自己的看法.
[生甲]在函数y=-5x2+100+60000中,因为一次项系数100大于二次项系数-5,因此当x越大时,y的值越大.
[生乙]我不同意他的观点.因为x2的增长速度比x的增长速度要快,因此-5x2的绝对值要大于100x的绝对值,因此x应取比较小的数才能使y的值大.
[师]大家说的都有道理,究竟是如何呢?我们不妨取一些特殊的数字验证一下.
我们可以列表表示橙子的总产量随橙子树的增加而变化的情况.你能根据表格中的数据作出猜测吗?自己试一试.
X(棵) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
Y(个)
请大家先填表,再猜测.
[生]从左到右依次填60095,60180,60255,60320,60375,60420,60455,60480,60495,60500,60495,60480,60455,60420.
可以猜测当x逐渐增大时,y也逐渐增大.当x取10时,y取最大值.x大于10时,y的值反而减小,因此当增种10棵橙子树时,橙子的总产量最多.
[师]大家的猜想很有道理,推理能力日渐增长,究竟猜想结果如何,我们将要在后面的学习中专门进行研究.
三、做一做
投影片:(§2.1B)
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说,利率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.
www.89xue.com 设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款额是100元,那么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
[师]首先我们要回顾一下有关名词,本金,利息,本息和,如何计算利息,在前面的学习中我们已接触过,大家还记得吗?
[生]记得.
本金是存入银行时的资金,利息是银行根据利率和存的时间付给的"报酬",本息和就是本金和利息的和.利息=本金×利率×期数(时间).
[师]根据利息的公式,大家可以计算出一年后的本息和.
[生]一年后的本息和为(100+100x·1)=100(1+x).
[师]再计算出两年后的本息和,这时,一年后的本息和将作为第二年的本金.
[生]y=100(1+x)+100(1+x)x×1
=10O(1+x)+100(1+x)x
=100(1+x)(1+x)
=100(1+x)2=100x2+200x+100.
[师]在这个关系式中,y是x的函数吗?是x的什么函数?请猜想.
[生]因为年利率x是一个变量,两年后的本息和y是随着x的变化而变化的,因此x是自变量,y是x的函数,再从函数的形式来看,y是x的二次函数.
四、二次函数的定义
[师]从我们刚才推导出的式子y=-5x2+100x+60000和y=100x2+200x+100中,大家能否根据式子的形式,猜想出二次函数的定义及一般形式呢?
[生]一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数(quadratic function).
[师]很好.上面说的只是一般形式,并不是每个二次函数关系式必须如此.有时没有一次项,有时没有常数项,有时这两项都不存在,只要有二次项存在即为二次函数.如正方形面积A与边长a的关系A=a2,圆面积S和半径r的关系
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