由于初中的锐角三角函数定义不能推广到任意角的情形,从而引发学生认知冲突,激发学生进一步探究的欲望.用什么定义、怎样定义、这样定义是否合理等,成为继续研究的自然问题.之前,在任意角内容的学习中,学生已经有了在直角坐标系内讨论角的经验,但教学实践表明,学生仍不能自然想到引入坐标系工具,利用坐标来定义任意角三角函数.笔者认为,从帮助学生理解定义的实质,体会坐标思想与数形结合思想的角度,教师可利用适当的语言,引导学生重点解决"如何用坐标表示锐角三角函数"的关键问题.需要提及的是,陶老师的问题设计具有启示性:
现在,角的范围扩大了,由锐角扩展到了0°~360°内的角,又扩展到了任意角,并且在直角坐标系中,使得角的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合.在这样的环境中,你认为,对于任意角α,sinα怎样定义好呢?
上述问题提得"大气",既能使学生的学习围绕关键问题展开,又突出正弦函数的概念分析.当然,若能依教材先作锐角情形的铺垫,教学更符合学生"最近发展区",提高效率.
这里,需要引导学生从函数的观点认识用坐标表示的锐角三角函数,有助于从函数的本质特征来认识三角函数.
在第三个环节中,首先是如何自然引入单位圆的问题.
用单位圆上点的坐标定义三角函数有许多优点,其中最主要的是使正弦函数、余弦函数从自变量(角的弧度数)到函数值(单位圆上点的横、纵坐标)之间的对应关系更清楚、简单,突出了三角函数的本质,有利于学生利用已有的函数概念来理解三角函数,其次是使三角函数反映的数形关系更直接,为后面讨论函数的性质奠定了基础.
但单位圆的这些"优点"要在引入单位圆后才能逐步体会到.因此,引入单位圆的"理由"应该另辟蹊径,白老师在引导学生完成用角的终边上任意一点的坐标表示锐角三角函数之后,从求简的角度设置问题,不愧为"棋高一招":
不错哦 大家有没有办法让所得到的定义式变得更简单一点?
在学生得出 时定义式最简单后,白老师引入单位圆,引导学生利用单位圆定义锐角三角函数.至此,学生就有了第四环节中用单位圆定义任意角三角函数的认知准备.
由于"定义"是一种"规定",因此,第四环节中,教师可类比用单位圆定义锐角三角函数情形,直接给出任意角三角函数定义,对学生而言,关键是理解这样"规定"的合理性,对定义合理性认知基础就是三角函数的"函数"本质--定义要符合一般函数的内涵(函数三要素).
3.精心设计问题,让课堂成为学生思维闪光的舞台
基于上述认识,对定义部分的教学,给出如下先行组织者和主干问题设计.
先行组织者1:周期现象是社会生活和科学实践中的基本现象,大到宇宙运动,小到粒子变化,这些现象的共同特点是具有周期性,另外,如潮汐现象、简谐振动、交流电等,也具有周期性,而"三角函数"正是刻画这些变化的基本函数模型.
三角函数到底是一种怎样的函数?它具有哪些特别的性质?在解决具有周期性变化规律的问题中到底能发挥哪些作用?本课从研究第一个问题入手. 意图:明确研究方向与内容.
问题1:在初中,我们已经学习了锐角三角函数,它是怎样定义的?
意图:从学生已有的数学经验出发,为用坐标定义三角函数作准备.
问题2:现在,角的概念已经推广到了任意角,上述定义方法能推广到任意角吗?
意图:引发学生的认知冲突,激发学生求知欲望.
问题3:如何定义任意角的三角函数?
意图:引导学生探索任意角三角函数的定义.
先行组织者2:我们知道,直角坐标系是展示函数规律的载体,是构架"数形结合"的天然桥梁,上堂课我们把任意角放在平面直角坐标系内进行研究,借助坐标系,可以使角的讨论简化,也能有效地表现出角的终边位置"周而复始"的现象.坐标系也为我们从"数"的角度定义任意角三角函数提供有效载体.
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