任意角三角函数定义的教学认识

 1.整体把握,使教学线索清晰,层次分明
    三角函数是以函数为主线,刻画周期现象的数学模型.高中学习的三角函数是在初中学习锐角三角函数的基础上,通过用旋转的观点将角的概念推广到任意角,并使角与实数建立一一对应关系,然后结合坐标系和单位圆重新定义任意角的三角函数.因此,三角函数是函数的下位概念,同时又是锐角三角函数的上位概念,教学要以函数思想为指导,以坐标系和单位圆为定义工具,以初中锐角三角函数概念为认知的起点,促进任意角三角函数定义的有效生成.
    教科书在完成任意角三角函数定义基础上衍生出:(1)三角函数值在各个象限的符号;(2)单位圆中的三角函数线;(3)同角三角函数的基本关系;(4) 三角函数的诱导公式;(5)三角函数的图象与性质等.可见,三角函数的定义在三角函数教学中可谓重中之重,是整个三角部分的奠基石,它贯穿于与三角有关的各部分内容并起着关键作用.
    本节课的学习目标是理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义,经历从锐角三角函数定义过渡到任意角三角函数定义的推广过程,体验三角函数概念的产生、发展过程,领悟直角坐标系和单位圆的功能,丰富数形结合的经验.
    由于三角函数的定义内涵丰富、外延广泛等原因,同时,用单位圆上点的坐标表示的任意角三角函数定义,与学生初中学习的锐角三角函数定义有一定的距离,一个侧重几何的边与边的比值表示,一个侧重代数的坐标(比值)表示.与学生熟悉的一般函数定义也有距离,一般函数是实数到实数的对应,而三角函数首先是实数(弧度数)到点的坐标的对应,然后才是实数(弧度数)到实数(横坐标或纵坐标)的对应.学生理解该定义很难一步到位,需要分成若干个层次,逐步加深提高.促进学生理解定义的关键是让学生经历定义的形成过程,增强学习活动的体验,在教师的引导下独立思考、自主探究,完成定义的意义建构.
    教材中任意角三角函数定义的得出经历了以下四个循序渐进、不断深化的过程:(1)回忆用直角三角形边长的比产生的锐角三角函数的定义;(2)把锐角α放在直角坐标系中,用角的终边上点的坐标表示锐角α的三角函数;(3)由相似三角形的知识可知,三角函数值只与α的大小有关,与点在终边上的位置无关,因此可用单位圆上点的坐标表示锐角α的三角函数;(4)类比得出用单位圆定义任意角三角函数,并将它纳入到一般函数概念的范畴.
    教科书这样设计改变了以往纯学术形态的形式,一定程度上具有了教育形态的特征,体现了数学知识的产生、发展过程,反映了数学的"来龙去脉",通过有效的铺垫,使之符合学生的认知规律,使从锐角三角函数到任意角三角函数过渡自然,有利于学生步步加深对三角函数定义本质的理解.因此,笔者认为,教学设计时无须"另起炉灶",只要在此基础上,依据学生的认知特点,进行教学法的深加工即可.
    2.抓住关键,使教学精炼、简约而高效
    由于教科书自身特点的限制,教科书还不能成为教师教学用的教学设计,根据教材的内容、要求以及编写意图,教师还需要一个再加工、再创造的过程.具体的,就是将教材中得出任意角三角函数定义经历的四个环节进一步教学化,使之符合学生的认知特点和规律,包括内容研究的必要性,坐标系、单位圆引入的自然性,以及用单位圆定义的可行性、合理性等.把它变成适合学生认知特点的具体的教育形态,使学生感受"数学是自然的、清楚的、水到渠成的".
    当前,高中数学课标课程比大纲课程的内容有所增加,初中数学对高中数学支持减弱,新课程赋予数学教学更多的价值取向,要让课堂的所有环节都让学生有深度思考、自主探究并展示结果是不现实也是没必要的.事实上,学生在校以学习间接经验为主,学生的学习主要是"接受--建构"式的,因此,对教学起关键作用的内容,要留足时间让学生充分思考、交流与展示,其它内容教师可多讲授与引导,发挥先行组织者作用,使教与学达到平衡,让教学效益达到最大化.
    在引导学生回忆初中锐角三角函数定义之前,先解决"学习的必要性"问题,明确要研究的内容.教材将"三角函数"作为重要的基本初等函数,是周期现象的基本模型,教师可借助本章的章头语,完成课题的引入.

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