三角形重心性质定理

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1．三角形重心性质定理   课本原题（人教八年级《数学》下册习题19.2第16题）   在△ABC中，BD、CE是边AC、AB上的中线，BD与CE相交于O。BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？ （提示：作BO中点M，CO的中点N。连接ED、EM、MN、ND）   分析：三角形三条中线的交点是三角形的重心（第十九章课题学习《重心》）。这道习题要证明的结论是三角形重心的一个重要数学性质：三角形的重心将三角形的每条中线都分成1∶2两部分，其中重心到三角形某一顶点的距离是到该顶点对边中点距离的2倍。 证法1：（根据课本上的提示证明） 取GA、GB中点M、N，连接MN、ND、DE、EM。（如图1） 　　　　　　　　　　　　　　 ∵MN是△GAB的中位线，∴MN∥AB，MN=AB 又ED是△ACB的中位线，∴DE∥AB，DE=AB ∴DE∥MN，DE=MN，四边形MNDE是平行四边形 ∴GM=GD，又AM=MG，则AG=2GD 同理可证：CG=2GF，BG=2GE 点评：证法1是利用中点构造三角形中位线，从而得到平行四边形，再利用平行四边形性质得到中线上三个线段之间的相等关系。 证法2：延长BE至F，使GF=GB，连接FC。 　　　　　　　　　　　　　 ∵G是BF的中点，D是BC的中点 ∴GD是△BFC的中位线，GD∥FC，GD=FC 由GD∥FC，AE=CE，易证△AEG≌△CEF ∴AG=FC，即GD=AG 点评：利用线段中点，还可以将与线段中点有关的线段倍长，构造全等，从而利用全等三角形的性质及三角形中位线的性质证明结论。 证法3：取EC中点M，连DM，利用平行线分线段成比例及E是AC中点可证得相同的结论。（证明过程略）   2.三角形重心性质定理的应用   ⑴求线段长 例1

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