提出问题,列出缺一次项的一元二次方程ax2+c=0,根据平方根的意义解出这个方程,然后知识迁移到解a(ex+f)2+c=0型的一元二次方程.
重难点关键
1.重点:运用开平方法解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程;领会降次──转化的数学思想.
2.难点与关键:通过根据平方根的意义解形如x2=n,知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2=n(n≥0)的方程.
教学过程
一、复习引入
学生活动:请同学们完成下列各题
问题1.填空
(1)x2-8x+______=(x-______)2;(2)9x2+12x+_____=(3x+_____)2;(3)x2+px+_____=(x+______)2.
问题2.如图,在△ABC中,∠B=90°,点P从点B开始,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,点Q从点B开始,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动,如果AB=6cm,BC=12cm,P、Q都从B点同时出发,几秒后△PBQ的面积等于8cm2?
老师点评:
问题1:根据完全平方公式可得:(1)16 4;(2)4 2;(3)( )2 .
问题2:设x秒后△PBQ的面积等于8cm2
则PB=x,BQ=2x
依题意,得: x·2x=8 x2=8
根据平方根的意义,得x=±2 即x1=2 ,x2=-2
可以验证,2 和-2 都是方程 x·2x=8的两根,但是移动时间不能是负值.
所以2 秒后△PBQ的面积等于8cm2.
二、探索新知
上面我们已经讲了x2=8,根据平方根的意义,直接开平方得x=±2 ,如果x换元为2t+1,即(2t+1)2=8,能否也用直接开平方的方法求解呢?
(学生分组讨论)
老师点评:回答是肯定的,把2t+1变为上面的x,那么2t+1=±2
www.89xue.com 即2t+1=2 ,2t+1=-2 方程的两根为t1= - ,t2=- -
例1:解方程:x2+4x+4=1
分析:很清楚,x2+4x+4是一个完全平方公式,那么原方程就转化为(x+2)2=1.
解:由已知,得:(x+2)2=1 直接开平方,得:x+2=±1
即x+2=1,x+2=-1 所以,方程的两根x1=-1,x2=-3
例2.市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m2提高到14.4m,求每年人均住房面积增长率.
分析:设每年人均住房面积增长率为x.一年后人均住房面积就应该是10+10x=10(1+x);二年后人均住房面积就应该是10(1+x)+10(1+x)x=10(1+x)2
解:设每年人均住房面积增长率为x,
则:10(1+x)2=14.4 (1+x)2=1.44
直接开平方,得1+x=±1.2 即1+x=1.2,1+x=-1.2
所以,方程的两根是x1=0.2=20%,x2=-2.2
因为每年人均住房面积的增长率应为正的,因此,x2=-2.2应舍去.
所以,每年人均住房面积增长率应为20%.
(学生小结)老师引导提问:解一元二次方程,它们的共同特点是什么?
共同特点:把一个一元二次方程"降次",转化为两个一元一次方程.我们把这种思想称为"降次转化思想".
三、巩固练习
教材P36 练习.
四、应用拓展
例3.某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?
分析:设该公司二、三月份营业额平均增长率为x,那么二月份的营业额就应该是(1+x),三月份的营业额是在二月份的基础上再增长的,应是(1+x)2.
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