(3)作法:①连接AB、BC;
②分别作线段AB、BC的中垂线DE和FG,DE与FG相交于点O;
③以O为圆心,以OA为半径作圆,⊙O就是所要求作的圆,如图3所示.
在上面的作图过程中,因为直线DE与FG只有一个交点O,并且点O到A、B、C三个点的距离相等(中垂线上的任一点到两边的距离相等),所以经过A、B、C三点可以作一个圆,并且只能作一个圆.
即:不在同一直线上的三个点确定一个圆.
也就是,经过三角形的三个顶点可以做一个圆,这个圆叫做三角形的外接圆.
外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点,叫做这个三角形的外心.
下面我们来证明:经过同一条直线上的三个点不能作出一个圆.
证明:如图,假设过同一直线L上的A、B、C三点可以作一个圆,设这个圆的圆心为P,那么点P既在线段AB的垂直平分线L1,又在线段BC的垂直平分线L2,即点P为L1与L2点,而L1⊥L,L2⊥L,这与我们以前所学的"过一点有且只有一条直线与已知直线垂直"矛盾.
所以,过同一直线上的三点不能作圆.
上面的证明方法与我们前面所学的证明方法思路不同,它不是直接从命题的已知得出结论,而是假设命题的结论不成立(即假设过同一直线上的三点可以作一个圆),由此经过推理得出矛盾,由矛盾断定所作假设不正确,从而得到命题成立.这种证明方法叫做反证法.
在某些情景下,反证法是很有效的证明方法.
例1.某地出土一明代残破圆形瓷盘,如图所示.为复制该瓷盘确定其圆心和半径,请在图中用直尺和圆规画出瓷盘的圆心.
分析:圆心是一个点,一个点可以由两条直线交点而成,因此,只要在残缺的圆盘上任取两条线段,作线段的中垂线,交点就是我们所求的圆心.
www.89xue.com 作法:(1)在残缺的圆盘上任取三点连结成两条线段;
(2)作两线段的中垂线,相交于一点.
则O就为所求的圆心.
三、巩固练习
教材P100 练习1、2、3、4.
四、应用拓展
例2.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD,AD=BC,AB=48cm,CD=30cm,高27cm,求作一个圆经过A、B、C、D四点,写出作法并求出这圆的半径(比例尺1:10)
分析:要求作一个圆经过A、B、C、D四个点,应该先选三个点确定一个圆,然后证明第四点也在圆上即可.要求半径就是求OC或OA或OB,因此,要在直角三角形中进行,不妨设在Rt△EOC中,设OF=x,则OE=27-x由OC=OB便可列出,这种方法是几何代数解.
作法分别作DC、AD的中垂线L、m,则交点O为所求△ADC的外接圆圆心.
∵ABCD为等腰梯形,L为其对称轴
∵OB=OA,∴点B也在⊙O上
∴⊙O为等腰梯形ABCD的外接圆
设OE=x,则OF=27-x,∵OC=OB
∴
解得:x=20
∴OC= =25,即半径为25m.
五、归纳总结(学生总结,老师点评)
本节课应掌握:
1. 点和圆的位置关系:设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离为d,则
2.不在同一直线上的三个点确定一个圆.
3.三角形外接圆和三角形外心的概念.
4.反证法的证明思想.
5.以上内容的应用.
六、布置作业
1.教材P110 复习巩固 1、2、3.
2.选用课时作业设计.
第一课时作业设计
一、选择题.
1.下列说法:①三点确定一个圆;②三角形有且只有一个外接圆;③圆有且只有一个内接三角形;④三角形的外心是各边垂直平分线的交点;⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等;⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内,其中正确的个数有( )
Tag:九年级数学教学设计，九年级数学教学设计方案，教学设计 - 数学教学设计 - 九年级数学教学设计